Tayanch so’zlar

Lagranj interpolyatsion ko‘phadi

Umumiy ko‘rinishdagi interpolyatsiyada interpolyatsion ko‘phad x_T ning aniqlanish sohasida barcha intervallar uchun (2) ko‘rinishda izlanadi, ya’ni [x₀, x_n] uchun:

(x)  a₀

• 
  a₁ x  a₂
  

x²  ... a
xⁿ . (8)

n
a_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) tenglamalar sistemasi tuziladi:

^a₀  a₁ x₀  ... a

^{a0  a1x1  ... a}
_n xⁿ  y ;

0 0
xⁿ  y₁;


n 1


. . .
(9)

n n
^_a₀  a₁ x_n  ... a_n xⁿ  y .
Ma’lumki, agar i  j lar uchun x_i  x_j shart o‘rinli bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi. (9) tenglamalar sistemasini yechish uchun oldin bayon qilingan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullaridan foydalanish mumkin. (9) sistemani to‘g‘ridan to‘g‘ri yechib, F(х) funksiyani (8) ko‘rinishida olgan ma’qul, bunda bir nechta hisoblashlar bitta jadval bo‘yicha bajariladi. y = f(x_T) ni bir martalik hisoblash uchun ā vektor parametrlarini topish shart bo‘lmagan boshqa algoritmlar tavsiya etiladi, interpolyatsion ko‘phadlar esa

{x_i, y_i},


i  0, n
jadval qiymatlari orqali yoziladi. Bular Lagranj va Nyuton

interpolyatsion ko‘phadlaridir.

1. 
   Ixtiyoriy interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Lagranj ko‘phadi interpolyatsiya tugunlarida f(х) funksiyaning qiymatlaridan tuzilgan chiziqli kombinatsiya ko‘rinishida izlanadi va interpolyatsiya tugunlari sistemasidan maxsus qurilgan qandaydir n– darajali ko‘phaddan iborat bo‘ladi:
   

n
L_n (x)  _ y_il_i (x)  y₀l₀ (x)  y₁l₁ (x)  ... y_nl_n (x)^{. (10)}
i0
Demak, oldiniga (n+1)– darajali yordamchi ko‘phad tuziladi:

(x)  (x  x₀ )(x  x₁)...(x  x_n )
va n– darajali ko‘phad quyidagicha hosil qilinadi:
(11)

_i (x) 
(x) x  x_i
 (x  x₀
)...(x  x_{i 1}
)(x  x_{i 1}
)...(x  x_n
) . (12)

^(x
Ko‘rinib turibdiki, (11) ko‘phad x_i interpolyatsiya tugunlarida nolga aylanadi, ya’ni (x_i) = 0, i = ^{0, n} , (12) ko‘phad _i(x) esa x_i tugunlardan tashqari barcha tugunlarda nolga aylanadi, ya’ni:

_i (x _{j
)  }0,

j  i;
_j  x₀

)...(x _j

• 
  ^xi1
  

)(x _j

• 
  ^xi1
  

)...(x_i

• 
  x_n
  

)  0,

j  i.
(13)

(12) va (13) tengliklardan yangi begona (chet) ko‘phad kelib chiqadi:

j
_{l (x) } (x)

(x  x_i )(x _j

• 
  x₀
  

)...(x _j

• 
  ^xi1
  

)(x _j

• 
  ^xi1
  

)...(x _j

• 
  x_n )
  

U j– tugundan boshqa barcha tugunlarda nol qiymatni qabul qiladi, x_j tugunda esa uning qiymati 1 ga teng bo‘ladi, ya’ni

l (x )  ^0,
i  j;
i, j  0, n ^.

j i ^
_1,
i  j;

U holda (10) munosabatga ko‘ra, j– ko’phad l_j(x_i)y_j barcha tugunlarda (x_j dan tashqari) nol qiymatni qabul qiladi va x_j tugunda y_j ga teng bo‘ladi:

l (x ) y
_{ }0,
i  j;

i, j  0, n

y

,

i 
j i j ^
_ j

j;
(10) ga ko‘ra quyidagi ko‘phadni tuzamiz:

n
L (x) 
n
y l (x)  y
(x) _,

i

j
n ^ j j
j 0

j 0
^j (x  x )'(x )

bunda
'(x_j )  (x _j  x₀ )...(x _j  x _{j 1} )(x _j  x _{j 1} )...(x _j  x_n ) ^.

Yoki yana-da qisqa ko‘rinishda quyidagicha bo‘ladi:

n
L (x)  y
ⁿ x  x_i
; (14)

_n 
j 0
j ^
i0 i j



x
_j  x_i

14. 
    munosabatning nazariy xatoligini aniqlash mumkin:
    

R_n (x) 
f (x)  L_n (x) 

(n  1)!

_(x), bunda [a, b].

(8) ko‘phaddan farqli ravishda bu yerda barcha koeffitsiyentlarni oldindan aniqlash talab qilinmaydi. Biroq har bir x_Т uchun (14) texnologiya asosida Lagranj ko‘phadini hisoblash kerak. Shuning uchun ham hisoblash hajmi (9) hisoblash texnologiyasiga nisbatan farq qilmaydi.
Amaliyotda agar turli x_Т lar uchun ko‘p sonli takroriy hisoblashlar talab qilinsa, u holda (8) sxemadan foydalangan ma’qul. Lagranj ko‘phadi boshqa sonli usullarni amalga oshirishda ham keng qo‘llaniladi. Shuni alohida ta’kidlash kerakki, n = 1 bo‘lganda bu chiziqli, n = 2 bo‘lganda parabolik interpolyatsiya hisoblanadi.

2. 
   Teng uzoqlashgan interpolyatsion tugunlar sistemasi uchun Lagranj formulasi. Interpolyatsion tugunlar orasidagi masofa h = x_i+1 – x_i = const o‘zgarmas bo‘lsin. U holda ixtiyoriy tugunni quyidagicha yozish mumkin:
   

x_i = x₀+ih, i  0, n .

Yangi o‘zgaruvchi kiritamiz:
t  ^{x  x0} . U holda
h

x – x_i = x₀ + th – x₀ – ih = (t – i)h . (15)

14. 
    ayirmani (11) tenglikka qo‘yib, quyidagini hosil qilamiz:
    

^{(x)  (x  x0 )(x  x1)...(x  xn )  th(t 1)h...(t  n)h } t(t 1)...(t  n)h^n1 So‘ngra, x_j – x_i = (x₀ + jh) – (x₀ + ih) = (j – i)h ekanligidan, (15) dan foydalanib, Lagranj formulasini hosil qilamiz:

bunda
_{t } x  x_{0 .}
h
n
L_n (x)  _ y
j 0
n
_j  i0 i j
^{t  i} , (16)
j  i


n1
_f (n1) _()

14. 
    ning nazariy xatoligini aniqlash mumkin:
    

R_n (x)  h
t(t 1)...(t  n)
(n 1)! ^.

Misol. Jadval bilan berilgan y=f(x) funksiya qiymatini x=0,4 bo‘lgan hol uchun Lagranj interpolyatsion formulasidan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechilishi: (14) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:

^{n n} x  x _j
L(x)  _ y_{i  x  x ;}

Bizning holda n = 3 gacha, shu sababli:

i0
^j0 i j ji

^{3 3} x  x _j
L(x)  _ y_{i  x  x} 

i 0
^{j 0} i j j i

_{ y} (x  x₁ )(x  x₂ )(x  x₃ ) _{ y} (x  x₀ )(x  x₂ )(x  x₃ ) _

⁰ (x  x )(x  x )(x  x ) ¹ (x  x )(x  x )(x  x )

0 1 0
2 0 3
1 0 1
2 1 3

_{ y} (x  x₁ )(x  x₀ )(x  x₃ ) _{ y} (x  x₀ )(x  x₁ )(x  x₂ ) _
² (x  x )(x  x )(x  x ) ³ (x  x )(x  x )(x  x )
2 0 2 1 2 3 3 0 3 1 3 2
¹²⁵ x³  30x²  ⁹¹ x  0,5;
3 12
x = 0,4 bo‘lganda y  L(x) = 0,3999.
Berilgan jadval asosida n=1 va x_T = 0,4 bo‘lgan hol uchun Lagranj ko‘phadini tuzamiz:

^{1 1} x  x _j
x  x₁
(x  x₀ )

L(x) _ y_{i  x  x}
 y_{0 x}

• 
  x ^{ y1} (x
  



• 
  x )
  

i0
^j0 i j 0 1 1 0
ji

 0,2
x  0,5


0,3  0,5
_1 (x  0,3)
(0,5  0,3)
 5x 1,5  x  0,5  4x 1;

Bu esa chiziqli interpolyatsion formula bilan ustma-ust tushadi. Berilgan jadval asosida n=2 va x_T = 0,4 bo‘lgan hol uchun Lagranj ko‘phadini tuzamiz:

2 2
^{y  L(x) =} y
x  x _{j ;}


i 0
_i 
j 0 i  j


x
_i  x _j

Qaralayotgan [x₁, x₃] intervalda x₀ = 0,1; x₁ = 0,3; x₂ = 0,5;
y₀ = 0; y₁ = 0,2; y₂ = 1
qiymatlarni olamiz. U holda 2–tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadi hosil bo‘ladi:

y  L(x)  0,2 
(x  0,1)(x  0,5)


(0,3  0,1)(0,3  0,5)
1
(x  0,1)(x  0,3)


(0,5  0,1)(0,5  0,3)
 7,5x²  2x  0,125.

Bu tenglik kvadratik interpolyatsiya formulasi bilan bir xil.

Mavzu yuzasidan savollar:

1. 
   Approksimatsiyalash deganda nimani tushunasiz?
   
2. 
   Nuqtaviy approksimatsiyalash va uning turlari.
   
3. 
   Interpolyatsion ko‘phad qanday tuzilishga ega?
   
4. 
   Lagranj interpolyatsion ko‘phadi va uning nazariy xatoligi qanday aniqlanadi?