Tayyorlash va ularning malakasini oshirish hududiy markazi

Natural sonning raqamlari, kategoriya qiymati 

       Natural  son  yozuvida  har  bir  raqamning  ma'nosi  uning  holatiga  bog'liq. 

Masalan, natural son 539   mos keladi 5   yuzlab 3   o'nlab va 9   birliklar, demak, 

raqam 5   rekord raqamda 539   yuzlab, sonni aniqlaydi 3   - o'nlablarning soni va 

raqam 9   - birliklar soni. Shu bilan birga, ular bu raqamni aytishadi 9 ichida turibdi 

tushirish birliklari   va raqam 9  hisoblanadi birliklar qiymati, shakl 3 ichida turibdi 

o'nlab   va raqam 3   hisoblanadi o'nlab qiymatva shakl 5    - ichida yuzlab oqindi   

va raqam 5   hisoblanadi yuzlab tushirish qiymati. Shunday qilib, tushirish    - bir 

tomondan,  bu  raqamning  natural  son  yozuvidagi  holati,  boshqa  tomondan,  bu 

raqamning  joylashishi  bilan  belgilanadigan  qiymati.  Raqamlar  nomlangan.  Agar 

siz natural sonning yozilishidagi raqamlarni o'ngdan chapga qarab ko'rsangiz, unda 

quyidagi  raqamlar  ularga  mos  keladi:  birliklar,  o'nlab,  yuzlab,  minglab,  o'n 

minglab, yuzlab minglab, millionlab, o'nlab millionlar va boshqalar. Raqamlarning 

                                                                                            12 

 

nomlari  jadval  shaklida  berilganida  eslab  qolish  qulay.  E'tibor  bering,  berilgan 

natural sonning raqamlari ushbu raqamni yozishda qatnashgan belgilar soniga teng 

bo'ladi.  Shunday  qilib,  yozilgan  jadvalda  barcha  tabiiy  raqamlarning  raqamlari 

nomlari  keltirilgan,  ularning  yozuvlari  15  tagacha  belgilarni  o'z  ichiga  oladi. 

Quyidagi  toifalar  ham  o'zlarining  nomlariga  ega,  ammo  ular  juda  kamdan-kam 

hollarda qo'llaniladi, shuning uchun ularni eslashning ma'nosi yo'q. Ko'p qiymatli 

ijobiy butun sonning pastki (kichik) va yuqori (katta) toifalarini ham eslatib o'tish 

kerak. Kam (past) kategoriya   har qanday ko'p qiymatli ijobiy butun son birliklar 

toifasiga kiradi. Natural sonning eng yuqori (katta) raqami   bu raqam yozuvidagi 

eng o'ng raqamga mos keladigan raqam. Masalan, 23 004 natural sonining eng past 

raqami birliklarning raqamlari, eng yuqori esa o'n minglab kishilarning raqamidir. 

Agar natural son belgisida raqamlar chapdan o'ngga siljigan bo'lsa, har bir keyingi 

raqam  pastki  (yosh)  oldingisi.  Masalan,  minglab  zaryadlar  o'n  minglab 

zaryadlardan  yoshroq,  ayniqsa  minglab  zaryadlar  yuz  minglab,  millionlab,  o'n 

millionlab va hokazolarga qaraganda yoshroq. Agar natural sonning yozuvida bitta 

raqam  o'ngdan  chapga  siljigan  bo'lsa,  unda  har  bir  keyingi  raqam  yuqori  (eski)   

oldingisi.  Masalan,  yuzlab  zaryadlarning  tushishi  o'nlab  zaryadlardan  kattaroqdir, 

va  bundan  ham  ko'proq,  birliklar  zaryadsizlanishidan  katta.  Ba'zi  hollarda 

(masalan,  qo'shish  yoki  ayirishda)  natural  son  ishlatilmaydi,  lekin  bu  natural 

sonning bit shartlarining yig'indisi. 

  Shunday  qilib, biz natural sonlar, ular ichiga kiritilgan  ma'no  va o'nta  raqamdan 

foydalangan  holda  natural  sonlarni  yozish  usullari  bilan  tanishdik.  Umuman 

olganda,  belgilar  yordamida  raqamlarni  yozish  usuli  chaqiriladi  raqamlar  tizimi. 

Raqamli yozuvdagi raqamning qiymati uning holatiga bog'liq bo'lishi mumkin yoki 

u  uning  holatiga  bog'liq  bo'lmasligi  mumkin.  Raqam  kiritilishidagi  raqamning 

qiymati uning holatiga bog'liq bo'lgan raqamli tizimlar deyiladi pozitsiyali. 

    Shunday  qilib,  biz  ko'rib  chiqqan  natural  sonlar  va  ularni  qayd  qilish  usuli 

bizning  pozitsiyali  raqamlar  tizimidan  foydalanishimizni  ko'rsatadi.  Shuni 

ta'kidlash  kerakki,  ushbu  raqamlar  tizimida  alohida  o'rin  raqamga  ega  10  . 

Darhaqiqat, ballar o'nlab tomonidan saqlanadi: o'nta birlik o'nga birlashadi, o'nlab 

o'nlab  yuzga, o'nlab  yuzlab  minglarga  birlashadi  va  hokazo.  Raqam  10      deyiladi 

sabab   berilgan raqamlar tizimi va raqam tizimining o'zi deyiladi o'nlik. 

    Natural sonlar   (lat dan. naturalis    - tabiiy; natural sonlar)  - hisoblash paytida 

tabiiy  ravishda  yuzaga  keladigan  raqamlar  (masalan,  1,  2,  3,  4,  5  ...).  Barcha 

natural sonlarning ko'tarilish tartibiga aytiladi yaqin. 

                                                                                            13 

 

      Natural  sonlarni  aniqlashda  ikkita  yondashuv  mavjud:      sanash  (raqamlash)   

narsalar ( birinchi, ikkinchi, uchinchisi, to'rtinchisi, beshinchi "...);  natural sonlar - 

dan  kelib  chiqadigan  raqamlar  miqdorni  belgilash      narsalar  (  0  ta  element,  1  ta 

element, 

2 

ta 

fan, 

3 

ta 

fan, 

4 

ta 

fan, 

5 

ta 

mahsulot                                             

Birinchi holda, bir qator natural sonlar bitta bilan boshlanadi, ikkinchisida -noldan. 

Ko'pgina matematiklar uchun birinchi yoki ikkinchi yondashuvning afzal ko'rilishi 

to'g'risida  bitta  fikr  yo'q  (ya'ni  nolni  natural  son  deb  hisoblash  kerakmi  yoki 

yo'qmi).  Rossiya  manbalarining  aksariyati  an'anaviy  tarzda  birinchi  yondashuvni 

qabul  qildilar.  Ikkinchi  yondashuv,  masalan,  Nikolas  Bourbaki  asarlarida 

qo'llaniladi,  bu  erda  natural  sonlar  cheklangan  to'plamlarning  kardinallari  sifatida 

belgilanadi.  Salbiy  va  to'liq  bo'lmagan  raqamlar  (ratsional,  haqiqiy,  ...)  natural 

sonlarga taalluqli emas. 

   Barcha natural sonlar to'plami   N  belgisi bilan belgilangan. (naturalis   - tabiiy). 

Natural sonlar to'plami  cheksizdir, chunki  n  har qanday  natural son uchun n   dan 

katta natural son mavjud.    

   Natural  sonlar  to'plamining  qiymati:    Cheksiz  to'plamning  qiymati  cheksiz 

to'plamga cheklangan to'plam elementlari sonini umumlashtirishdan iborat bo'lgan 

"to'plamning  yaqinligi"  tushunchasi  bilan  tavsiflanadi.  Miqdorda  (ya'ni,  quvvat), 

natural  sonlar  to'plami  har  qanday  cheklangan  to'plamdan  kattaroqdir,  ammo  har 

qanday  intervaldan  kamroq,  masalan,  (0,  1)  oraliq.  Quvvatdagi  natural  sonlar 

to'plami  ratsional  sonlar to'plami  bilan bir xil. Natural  sonlar to'plami  kabi bir xil 

quvvat  to'plamiga  sanab  bo'ladigan  to'plam  deyiladi.  Shunday  qilib,  har  qanday 

ketma-ketlik a'zolari sonini hisoblash mumkin. Shu bilan birga, har bir natural son 

cheksiz ko'p marta kiradigan ketma-ketlik mavjud, chunki natural sonlar to'plamini 

ajratib bo'lmaydigan hisoblashlar to'plamining hisoblanadigan birlashmasi sifatida 

ko'rsatish. 

Peano aksiomalari 

N  maydoni  -  bu  elementar  matematikaga  asoslanadigan  asosiy  maydon.  Vaqt 

o'tishi  bilan  butun,  ratsional,  kompleks  sonlar  sohalari  ajralib  chiqdi.  Italiyalik 

matematik Juzeppe Peanoning faoliyati arifmetikani yanada tuzishga imkon berdi, 

uning shaklliligiga erishdi va N maydonidan tashqarida bo'lgan xulosalar chiqarish 

uchun zamin yaratdi.     Tabiiy son nima, oldinroq sodda tilda aniqlangan, quyida 

Peanoning aksiomalariga asoslangan matematik ta'rifni ko'rib chiqamiz. 

Birlik natural son hisoblanadi. 

Natural sondan keyin keladigan raqam tabiiydir. 

                                                                                            14 

 

Jihozning oldida tabiiy raqam yo'q. 

Agar b soni c raqamiga va d raqamiga mos bo'lsa, c \u003d d. 

Induksiya  aksiomasi,  bu  o'z  navbatida  natural  sonning  nima  ekanligini  ko'rsatadi: 

agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi bir fikr 1 raqami uchun to'g'ri bo'lsa, u holda 

n  natural  sonlar  sohasidagi  n  soni  uchun  ishlaydi  deb  taxmin  qilamiz,  keyin  n 

uchun ham to'g'ri bo'ladi. N 1 natural sonlar maydonidan. 

    Natural sonlar maydoni uchun asosiy operatsiyalar:      N maydoni matematik 

hisob-kitoblar  uchun  birinchi  bo'lganligi  sababli,  ushbu  sohaga  aniqlik  kiritilish 

sohalari  va  quyida  keltirilgan  bir  qator  operatsiyalar  qiymatlari  diapazoni  bog'liq. 

Ular  yopiq  va  yo'q.  Asosiy  farq  shundaki,  yopiq  operatsiyalar  natijalari  N  ni 

belgilangan  doirada  qoldirishi  kafolatlanadi,  qaysi  raqamlar  ishtirok  etmasin. 

Ularning  tabiiyligi  etarli.  Qolgan  sonli  o'zaro  ta'sirlarning  natijasi  endi  bu  qadar 

sodda emas va ifoda qaysi raqamlarning ishtirok etishiga bog'liq, chunki u asosiy 

ta'rifga zid kelishi mumkin. 

     O'quvchilar  boshlang'ich  matematikaning  butun  tuzilishini  tushunib  yetgandan 

keyin,  ular  tabiiy  sonlar  deb  nomlanadigan  raqamlarni  aniqlaganlaridan  keyin  bu 

Pifagor  jadvali.  U  nafaqat  ilm-fan  nuqtai  nazaridan,  balki  eng  qimmatli  ilmiy 

yodgorlik  sifatida  ham  ko'rib  chiqilishi  mumkin.  Ushbu  ko'payish  jadvali  vaqt 

o'tishi bilan bir qator o'zgarishlarni boshdan kechirdi: undan nol olib tashlandi va 1 

dan 10 gacha bo'lgan raqamlar (yuzlab, minglab ...) tashqari o'zlarini bildiradi. Bu 

jadval  bo'lib,  unda  satrlar  va  ustunlarning  sarlavhalari  raqamlar  va  ularning 

kesishish  joyidagi  hujayralar  tarkibi  ularning  mahsulotiga  tengdir.  So'nggi  o'n 

yilliklarda  ta'lim  berish  amaliyotida  Pifagor  stolini  "tartibda"  yodlash  zarurati 

paydo bo'ldi, ya'ni yodlash avval davom etdi. 1 ga ko'paytirish chiqarib tashlandi, 

chunki  natija  1  ga  yoki  undan  katta  omilga  teng  edi.  Shu  bilan  birga,  stolda 

yalang'och ko'z bilan siz naqshni ko'rishingiz mumkin: raqamlar  mahsuloti chiziq 

nomiga  teng  bo'lgan  bir  qadamga  ko'payadi.  Shunday  qilib,  ikkinchi  omil  bizga 

kerakli mahsulotni olish uchun birinchi marta necha marta bajarishingiz kerakligini 

ko'rsatadi. Ushbu tizim  O'rta  asrlarda  qo'llanilganidan ko'ra qulayroq  misol  emas: 

hatto  tabiiy  son  nima  ekanligini  va  uning  ahamiyatsizligini  tushungan  holda, 

odamlar  ikkala  kuchga  asoslangan  tizim  yordamida  o'zlarining  kunlik  hisoblarini 

murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi. 

     Hozirgi  vaqtda  N  natural  sonlar  maydoni  murakkab  sonlar  to'plamlaridan  biri 

sifatida  ko'rib  chiqiladi,  ammo  bu  ularni  fanda  kam  ahamiyatli  qilmaydi.  Tabiiy 

raqam  -  bu  bolaning  o'zi  va  atrofidagi  dunyoni  o'rganish  orqali  o'rganadigan 

birinchi narsa. Bir marta barmoq, ikki barmoq ... Uning yordamida odam mantiqiy 

                                                                                            15 

 

fikrlashni rivojlantiradi, shuningdek, uning sababini aniqlash va ta'sirini namoyish 

etish, ajoyib kashfiyotlar uchun zamin tayyorlaydi. 

    Fransiya  akademiyasi  bir  vaqtning  o'zida  maxsus  qaror  qabul  qildi,  unga 

muvofiq 0 ko'p sonli natural sonlarga kiritildi. Endi bu standart, mening fikrimcha, 

"rus natural raqami" tushunchasini kiritish shart emas, balki ushbu standartga rioya 

qilish  kerak.  Tabiiyki,  shuni  ta'kidlash  kerakki,  bir  paytlar  bunday  bo'lmagan 

(nafaqat Rossiyada, balki hamma joyda). 

 

Butun sonlar to'plami 

Ta’rif:  Natural  sonlar  va  ularga  qarama-qarshi  sonlar  hamda  nol  soni  birgalikda 

butun sonlar deyiladi. 

 

Agar  hozirgi  zamon  matematika  tili  –  to’plam  (to’plam  ham  boshlangich 

tusuncha) tilida ifoda qilsak , yani natural sonlar to’plamini N bilan ,butun sonlar 

to’plamini  Z  bilan  belgilasak  ,  u  holda  N 



  Z  bo’ladi  ,  yani  natural  sonlar 

to’plamini butun sonlar to’plamining qismi – to’plamidir. 

1.  Butun  sonlar  to'plami.

 

Son  o'qida  0,  1,2,  ...  sonlari  hamda  ,  -1,  -2,  -3,  ... 

sonlaridir. 

 

 

Butun  sonlar  qatorida  0  sonidan  o'ngda  joylashgan  1, 2, 3, ... sonlari  natural 

sonlar yoki butun musbat sonlar deb ataladi. 

Butun sonlar qatorida 0 sonidan chapda joylashgan -1, -2, -3, ... sonlari butun 

manfiy sonlar deyiladi. 

                                                                                            16 

 

Odatda, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... butun sonlar qatori butun sonlar to'plami deyiladi 

va Z harfi bilan belgilanadi:            

. 

Shunday  qilib,  butun  sonlar  to'plami  barcha  natural  sonlar,  butun  manfiy 

sonlar va nol sonidan tashkil topgan. 

2. Qarama-qarshi sonlar. Koordinata o'qida sanoq boshidan bir xil uzoqlikda 

joylashgan  ikkita  nuqta  olaylik.  A  nuqtaning  koordinatasi  4,  В  nuqtaning 

koordinatasi  -4  deylik:  A(4),  B(-4).  A  nuqta  sanoq  boshidan  4  birlik  o'ngda,  В 

nuqta 

esa 

sanoq 

boshidan 

4 

birlik 

chapda 

turibdi.                                                         

4 va -4 sonlari bir - biridan faqat ishorasi bilan farq qiladi. 

 

Bir-biridan  faqat  ishorasi  bilna  farq  qiladigan  sonlar  qarama-qarshi  sonlar 

deyiladi. 

Demak, 4 va -4 sonlari qarama-qarshi sonlardir. Xuddi shuningdek -3 va 3; 2 

va -2; -1 va 1 sonlari ham qarama-qarshi sonlardir. 

   Koordinata  o’qida  har  qanday  songa  qarama-qarshi  bo’lgan  faqat  bitta  son  bor. 

Har qanday sonning oldiga minus “ - ”  ishorasi qo’yilsa bu songa qarama-qarshi 

son  hosil  bo’ladi.    Masalan,  2  soniga  qarama-qarshi  son  -2;  -7  soniga  qarama-

qarshi son esa   -(-7) = 7. 

  k  songa qarama - qarshi son –k, 0 soni o’ziga o’zi qarama-qarshi sondir:     0=-

0=+0 

Nomanfiy butun sonlar to`plamining xossalari. 

       Natural sonlar qatori kеsmasi va chеkli to`plam elеmеntlari soni tushunchasi. 

Tartib va sanoq natural sonlari. 

    Nomanfiy  butun  sonlar  to’plamining  xossalari.  Yuqorida  aytilgan  fikrlarni 

umumlashtirib,  nomanfiy  butun  sonlar  to’plamining  xossalarini  sanab  o’tish 

mumkin: 

}

 

...

 

1,2,

 

1,0,

-

 

2,

-

 

{...,

 

 

Z



                                                                                            17 

 

 1. Nomanfiy butun sonlar to’plamida eng kichik element mavjud va u 0 ga teng. 

Bu esa to’plamning quyidan chegaralanganligini bildiradi. 

2. Nomanfiy butun sonlar to’plami cheksiz va yuqoridan che- garalanmagan. 

3. Nomanfiy butun sonlar to’plami diskret. 

    Diskretlik  nomanfiy  butun  sonlar  to’plamida  har  bir  natural  sondan  keyin  va 

oldin  keladigan  sonlarni  ko’rsatish  mumkinligi  bilan  izohlanadi.  Faqat  0hech 

qanday  sondan  keyin  kelmaydi.  Boshqacha  aytganda,  ikkita  ixtiyoriy  nomanfiy 

butun  son  orasida  chekli  sondagi  nomanfiy  sonlar  joylashgan.  Nomanfiy  butun 

sonlar  to’plami  «<»  munosabati  orqali  tartiblangan.  (Bu  xossalar  izohi  tegishli 

bo’limlarda  qaralgan  edi.)  N  natural  sоnlar  to`plamiga  tartib  munоsabatini 

kiritamiz.  Bunda  biz  birinchi  va  to`rtinchi  aksiоmalarga  va  elеmеntlar  yig`indisi 

tushunchalariga  asоslanamiz.    «a  natural  sоn  b  natural  sоndan  kichik»  ta’rifini 

kеltirib  chiqarishda  chеkli  to`plamlarga  bоg`liqlikdan  fоydalanamiz.    Bizga 

ma’lumki,  chеkli  a  to`plam  bilan  bo`sh  bo`lmagan  chеkli  b  to`plam  birlashmasi 

c=ab  (ab=ø)  a  to`plamdagidan  ko`p  elеmеntlarga  ega  bo`ladi.  Bu  esa  quyidagi 

ta’rifga оlib kеladi: 

Ta’rif.  Agar a va b natural sоnlari uchun shunday bir c natural sоni mavjud bo`lib, 

a+c=b munоsabat o`rinli bo`lsa, a natural sоni b natural sоnidan kichik dеyiladi va 

a ko`rinishda yoziladi. 

Masalan,  5  <7  bu  hоlda  shunday  natural  sоn  2  mavjudki,  2+5=7  bo`ladi.    A<  b 

munоsabatdan  fоydalanib,  4-  aksiоmani  quyidagicha  ifоdalash  mumkin:                                                                                                                    

1-aksioma. N natural sоnlarning bo`sh bo`lmagan a to`plam оstida eng kichik sоn 

bоr, ya’ni shunday sоnni a dеsak, a to`plamdagi a dan farqli barcha х sоnlari uchun 

a<х.    endi  <  munоsabatini  n  to`plamda  qattiq  tartib  munоsabati  ekanini 

ko`rsatamiz,  ya’ni  bu  munоsabat  tranzitiv  va  antisimmеtrik.  Aytaylik,  a  va  b 

bo`lsin. Ta’rifga asоsan shunday k va l sоnlari tоpiladiki b=a+k, c=b+l bo`ladi. U 

hоlda c= (a+k)+l. 

2- aksiоma: c=a+(k+l), k+l natural sоn bo`lgani uchun tеnglikdan a < c. Dеmak, a 

va  bdan  a  kеlib  chiqadi.  Bu  esa  <  munоsabati  tranzitiv  ekanligini  ko`rsatadi.Bu 

aksiоmaga  asоsan  natural  sоnlar  to`plamining  bo`sh  bo`lmagan  a  to`plamida  eng 

kamida bitta eng kichik elеmеnt a bоr. A da bu elеmеnt bir qiymatli aniqlangan va 

bundan  bоshqa  eng  kichik  elеmеnt  yo`q  ekanligini  ko`rsatamiz.  Aytaylik  a  dan 

bоshqa eng kichik b elеmеnt bоr bo`lsin, u hоlda a va b bajariladi. Bunday bo`lishi 

esa  mumkin  emas.  Shunday  qilib  <  munоsabati  n  to`plamda  qattiq  tartib 

munоsabati ekan. Bu tartibning chiziqli ekanini ko`rsatamiz, ya’ni iхtiyoriy ikkita 

                                                                                            18 

 

turli  хil  a  va  b  natural  sоnlar  uchun  a  va  b  munоsabatlardan  biri  bajariladi. 

Haqiqatan  ham  ikkita  elеmеntdan  tashkil  tоpgan  a={a;  b}  to`plamni  оlaylik.  1- 

aksiоmaga  asоsan  bu  to`plamda  eng  kichik  elеmеnt  bo`lishi  kеrak.  Agar  bu 

elеmеnt a bo`lsa, a < b, agar bu elеmеnt b bo`lsa, b< a munоsabat o`rinli. 

 Endi natural sоnlarni qo`shish mоnоtоnlik хоssasiga ega ekanligini ko`rsatamiz. 

Agar a bo`lsa, u hоlda iхtiyoriy cn uchun a+c ga ega bo`lamiz (tеngsizlikni ikkala 

tоmоniga  bir  хil  sоni  qo`shsak,  tеngsizlik  bеlgisi  o`zgarmaydi).  Aslida  ta’rifga 

ko`ra a dеganda shunday bir k sоnni mavjud bo`lib b=a+k ekanini bildiradi. Lеkin 

b+c=(a+k)+c.  Birinchi  va  ikkinchi  aksiоmalarga  ko`ra  b+c  =(a+k)+c=a+(k+c)  = 

a+(c+k)=(a+c)+k. Dеmak, b+c=(a+c)+k. Bu esa a+c < b+c ekanini bildiradi. 

   Endi  natural  sоnlarni  qo`shish  qisqaruvchanligini  ko`rsatamiz,  ya’ni  a+c=  b+c 

bo`lsa, u hоlda a=b ga tеng. Aslida quyidagi uch hоl bo`lishi mumkin: a; ammо a 

bo`lsa,  u  hоlda  a+c  <  b+c  bo`ladi,  biz  esa  a+c=b+c  dеb  оldik.  Dеmak  a  hоl 

mumkin emas. Shu sababli b hоl ham mumkin emas, faqat a=b bo`lgan hоl qоladi. 

   Natural sоnlar to`plamining chеklanmaganligi va diskrеtligi.                      1 - 

aksiоmaga ko`ra n natural sоnlar to`plamida eng kichik sоn mavjud. Bu sоn 1 bilan 

bеlgilanadi  va  birlik  dеb  ataladi.  N  natural  sоnlar  to`plamida  eng  kichik  sоn 

bo`lgani uchun, iхtiyoriy an, sоn uchun a1 va 1

bu yеrda bn natural sоnlar to`plamida eng katta sоn mavjud emas, haqiqatan ham 

iхtiyoriy  an  uchun  a,  dеmak  a  n  to`plam  uchun  eng  katta  sоn  bo`la  оlmaydi. 

Shunga  ko`ra  n  natural  sоnlar  to`plami  quyidan  1  sоni  bilan  chеgaralanib, 

yuqоridan  esa  chеgaralanmagan  dеb  aytiladi.    Barcha  sоnlar  o`rtasida  a  sоnidan 

kеyin  kеluvchi  eng  kichik  a+1  sоn  bоr.  Haqiqatan  ham  a  sоnidan  kеyin  b  sоni 

kеlsin  dеsak,  u  hоlda  shunday  c  natural  sоni  tоpiladiki  b=a+c.    Ammо  1c 

bo`lganidan a+1a+c ga ega bo`lamiz, bundan esa a+1b. Bu esa a+1 sоni a sоnidan 

kеyin kеluvchi eng kichik sоn ekanligini ko`rsatadi. Bundan kеyin a sоnidan kеyin 

kеluvchi  eng  kichik  sоnga,  a  sоnidan  bеvоsita  kеyin  kеluvchi  sоn  dеyiladi. 

Shunday  qilib,  n  natural  sоnlar  to`plamidagi  har  bir  elеmеntdan  bеvоsita  kеyin 

kеluvchi  elеmеnt  mavjud.  Bu  хоssa  natural  sоnlar  to`plamining  diskrеtligi 

dеyiladi. «b sоni a sоnidan bеvоsita kеyin kеladi» munоsabatiga «a sоni b sоnidan 

bеvоsita оldin kеladi» munоsabati tеskari hisоblanadi. Bоshqacha aytganda, a sоni 

b  sоnidan  bеvоsita  оldin  kеladi»  munоsabati  faqat  va  faqat  b=a+1  bo`lganda 

o`rinli.  1  sоnidan  оldin  kеluvchi  sоn  yo`q,  chunki  birinchi  va  uchinchi 

aksiоmalarga ko`ra 1=a+1 bajarilmaydi. 1 dan bоshqa barcha natural sоnlar uchun 

uning оldidan kеluvchi faqat bitta va bitta natural sоn mavjudligini ham ko`rsatish 

mumkin.  Haqiqatan  ham  b1  bo`lsa,  u  hоlda  1  

                                                                                            19 

 

bundan  esa  shunday  an  natural  sоni  mavjud  bo`lib,  b=1+a=a+1  ekani  ko`rinadi. 

Dеmak, b natural sоni a dan kеyin kеlar ekan, ya’ni b natural sоni a dan bеvоsita 

kеyin  kеladi.  Endi  b  dan  bоshqa  a  dan  bеvоsita  kеyin  kеluvchi  natural  sоn 

yo`qligini  ko`rsatamiz.  Faraz  qilaylik,  ca,  c  b  dan  bеvоsita  kеyin  kеluvchi  sоn 

bo`lsin. U hоlda b= a+1; b=c+1 bo`ladi, bundan a+1=c+1;              Qo`shishning 

qisqaruvchanlik  хоssasiga  asоsan  a=c,  bu  esa  farazimizga qarama-qarshi.  Dеmak, 

b sоn a sоnidan bеvоsita kеyin kеluvchi yagоna sоn ekan. 

   2.Tartib va sanoq natural sonlar. Shuni xulosa qilib aytish kerakki, natural sonlar 

nafaqat  miqdorlarni  oichash  va  to’plam  elementlarini  sanash  uchun  ishlatiladi, 

balki  to’plam  elementlarini  tartiblash  ham  natural  sonlar  yordamida  amalga 

oshiriladi.   Bunda chekli to’plam uchun natural sonlar qatori kesmasi tushunchasi 

ishlatiladi.                                                                                                           

Ta’rif.        Natural  sonlar  qatorining  Na  kesmasi  deb,  a  natural  sondan  katta 

bo’lmagan barcha natural sonlar to’plamiga aytiladi. 

Masalan, N5= {1; 2; 3; 4; 5}. 

Ta’rif.  A  to  ‘plam  elementlarini  sanash  deb,  A  to  ‘plam  bilan  natural  sonlar 

qatorining Na kesmasi orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilishiga aytiladi.  

a  soni  A  to’plam  elementlari  sonini  bildiradi  va  n(A)  =  a  deb  yoziladi.  To’plam 

elementlarini  sanash  faqat  ularning  miqdorini  aniqlab  qolmay,  balki  to’plam 

elementlarini  tartiblaydi  ham.  Bunda  har  bir  elementning  sanoqda  «nechanchi» 

ekanligini ham aytish mumkin bo’ladi. Elementning nechanchi bo’lishi sanashning 

olib  borilishiga  bog’liq.  Kombinatorikada  ko’rilganidek,  a  ta  elementli  to’plam 

tartiblanishlari  umumiy  soni  a!ga  teng  bo’lgani  uchun  bu  turli  usullar  bilan 

sanalganda element tartib nomeri a!marta o’zgarishi mumkin degani. Lekin qanday 

usul  bilan  sanalmasin,  to’plam  elementlari  soni  o’zgarmasdir.  Demak,  «nechta» 

savoliga  javob  beruvchi  natural  sonlar  miqdoriy,  «nechanchi»  savoliga  javob 

beruvchi natural sonlar tartib natural sonlar deyiladi. To’plam oxirgi elementining 

tartib  nomeri  bir  vaqtda  towplam  elementlari  sonini  bildiradi.  Demak,  sanoq  19- 

elementida tugasa, to’plamda 19 ta element bor degan xulosa chiqariladi. 

Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko’paytmasi.