Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari Reja
Download 262.51 Kb.
|
1 2
Bog'liqKOMILOVA SHAHLO
- Bu sahifa navigatsiya:
- Eslatma.
M to’plamdagi barcha nuqtalar uchun umumiy bo’lgan n0 natural sonni toppish mumkinmi degan savol tug’iladi. Buni quyidagicha tushunish kerak: Ɛ˃0 son olinganda ham n>n0 va xϵM uchun |fn( )-f( )|<Ɛ bo’ladigan n0ϵN topiladimi?
Quyidagi keltiriladigan misollar ko’rsatiladiki, ba’zi funksional ketma-ketliklar uchun bunday n0 natural son topiladiki, ba’zi funksional ketma-ketliklar uchun esa topilmaydi, ya’ni biror δ>0 soni uchun istalgan katta nϵN soni olinganda ham shunday xϵM nuqta topiladiki, |fn( )-f( )| Ɛ0 tengsizlik bajariladi. Misollar. 1. Ushbu {(fn(x)}={ } funksional ketma-ketlikni qaraylik. Bu ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi M=(-∞, +∞), limit funksiyasi esa fn( )= =0 bo’ladi. Demak, f(x)=0. Bu yaqinlashishning xarakteri quyidagichadir: Ɛ˃0 son olinganda ham n0=[ ] deyilsa, barcha da xϵM da |fn( )-f( )|=| =0| <ε bo’ladi. Bu holda n0 natural son faqat ε gagina bog’liq bo’lib, qaralayotgan x(x∈(-∞, +∞)) nuqtalar uchun umumiydir. 2. Ushbu {(fn(x)}={ } (0 x 1) funksional ketma-ketlikni qaraylik. Bu funksional ketma- ketlikning limit funksiyasi f(x)=x bo’ladi: f(x)= fn(x)= =x. Bu yaqinlashishning xarakteri ham avvalgi misoldagidek. Haqiqatan ham, Ɛ˃0 (𝜀<1) sonni olaylik. n0 sifatida n0 =[ (1+x0)( -1) ] ni olsak, ∀ n>n0 va x𝜖[0,1] nuqta uchun |fn(x0)-f(x0)|=| -x0|= <ε bo’ladi. Bu yerda, ravshanki, n0 son ε ga va x0 nuqtaga bog’liqdir. Biroq deb = n0=[2( -1)] olinsa ∀ n> va ∀ x𝜖[0,1] uchun bajarilaveradi. Demak, natural son barcha x(0 x 1) nuqtalar uchun umumiy bo’ladi. Agar M to’plamda funksional qatorning qismiy yeg’indilaridan iborat {Sn(x)} funksional ketma- ketlik qator yeg’indisi S(x) ga tekis yaqinlashsa, u holda bu funksional qator M to’plamda tekis yaqinlashuvchi deb ataladi, aks holda, ya’ni {Sn(x)} funksional ketma-ketlik M to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashsa, funksional qator M to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashmaydi deyiladi. Shunday qilib, funksional qatorlarning tekis yaqinlashuvchanligi (yaqinlashmovchanligi) tushunchasi ham ularning oddiy yaqinlashuvchanligi singari, funksional ketma-ketliklarning tekis yaqinlashuvchanligi (yaqinlashmovchiligi) orqali kiritiladi. Misollar. Ushbu (0 x +∞) funksional qatorni qaraylik. Bu qatorning qismiy yeg’indisi S(x)= + + . . . + =( - )+( - )+ . . . +( - )= - bo’lib, uning yeg’indisi S(x)= Sn(x)= ( - )= . Ta’rifga ko’ra, Ɛ˃0 son olinganda n0=[ -(1+x)] deyilsa, barcha n>n0 uchun |Sn(x)-S(x)|=| - - |= <ε bo’ladi. Bundagi n0 natural son Ɛ˃0 ga hamda x (0 x +∞) nuqtalarga bog’liq. Biroq deb = [ -(1+x)]=[ -1] ni olinsa, unda bo’lgan n larda yuqoridagi tengsizlik bajarilaveradi. Demak, berilgan funksional qator uchun ta’rifdagi natural son x (0 x +∞) nuqtalari uchun umumiy bo’ladi, ya’ni x ga bog’liq bo’lmaydi. Demak, berilgan funksional qator tekis yaqinlashuvchi. 2. Quyidagi (0 x +∞) funksional qatorni qaraylik. Bu funksional qatorning qismiy yeg’indisi Sn(x)= + + . . . + = (1- )+( - )+ . . . + +( - )=1- bo’lib, uning yeg’indisi S(x)= Sn(x)= (1- )=1 (0 Ta’rifga ko’ra, Ɛ˃0 son olinganda n0=[( -1) ] (x 0) deyilsa, barcha n>n0 uchun |Sn(x)-S(x)|=|1- -1|= ≤ <ε bo’ladi. Agar x=0 bo’lsa, ravshanki, ∀ n uchun Sn(0)=S(0)=1 bo’lib, Sn(0)-S(0)=0 bo’ladi. Bundagi n0 natural son ε>0 va (0 Boshqacha qilib aytganda, istalgan n natural son olsak ham shunday ε0 >0 (masalan, ε0= ) va x= ∈(0, +∞) nuqta topiladiki, |Sn( )-S ( )|= <ε0 bo’ladi. Teorema. M(M R) to’plamda funksional qator berilgan bo’lib, uning yeg’indisi S(x) bo’lsin. Bu funksional qatorning M da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, uning qismiy yeg’indilari ketma-ketligi {Su(x)} ning M da fundamental ketma-ketlik bo’lishi zarur va yetarli. Funksional qatorlarning tekis yaqinlashuvchanligi Teorema. funksional qator M to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashish uchun |Sn(x)-S(x)|=0 bo’lishi zarur va yetarli. Misol. Ushbu xn=1+x+x2+ . . . +xn+ . . . funksional qator (-1, +1) da yaqinlashuvchi bo’lib, uning yeg’indisi S(x)= . ekanini ko’rgan edik. Bu funksional qator uchun |Sn(x)-S(x)|=| | (x∈(-1, +1)) bo’lib, |Sn(x)-S(x)|=+∞ bo’ladi. Demak, berilgan qator (-1, +1) oraliqda tekis yaqinlashuvchi emas. Teorema. (Veyershtrass alomati). Agar ushbu =u1(x)+u2(x)+ . . . +un(x)+ . . . funksional qatorning har bir hadi M(M R) to’plamda quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsa va cn=c1+c2+ . . . +cn+ . . . sonli qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda funksional qator M to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Misol. Ushbu (0 x<+∞) funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi aniqlangan edi. Bu qatorning tekis yaqinlashuvchanligini Veyershtrass alomati yordamida osongina ko’rsatish mumkin. Haqiqatan ham, | |=| |= ≤ bo’lishi hamda Qatorning yaqinlashuvchanligidan berilgan funksional qatorning (0, +∞) da tekis yaqinlashuvchanligi kelib chiqadi. 10. Agar yuqoridagi funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,…) X to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi. 20. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya`ni qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa ga teng bo`ladi. Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. Toshkent “O’zbekiston” 1995. T. Azlarov, X. Mansurov.(Matematik analiz 2-qism) Toshkent “O’zbekiston” 1995. A. Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoberganov, A. Vorisov, R. G’ulomov Download 262.51 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
1 2
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling