Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlarning xossalari Reja

M to’plamdagi barcha nuqtalar uchun umumiy bo’lgan n₀ natural sonni toppish mumkinmi degan savol tug’iladi. Buni quyidagicha tushunish kerak: Ɛ˃0 son olinganda ham n>n₀ va xϵM uchun |f_n( )-f( )|<Ɛ bo’ladigan n₀ϵN topiladimi?
Quyidagi keltiriladigan misollar ko’rsatiladiki, ba’zi funksional ketma-ketliklar uchun bunday n₀ natural son topiladiki, ba’zi funksional ketma-ketliklar uchun esa topilmaydi, ya’ni biror δ>0 soni uchun istalgan katta nϵN soni olinganda ham shunday xϵM nuqta topiladiki,
|f_n( )-f( )| Ɛ₀
tengsizlik bajariladi.
Misollar. 1. Ushbu
{(f_n(x)}={ }
funksional ketma-ketlikni qaraylik. Bu ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi M=(-∞, +∞), limit funksiyasi esa
f_n( )= =0
bo’ladi. Demak, f(x)=0. Bu yaqinlashishning xarakteri quyidagichadir:
Ɛ˃0 son olinganda ham n₀=[ ] deyilsa, barcha da xϵM da
|f_n( )-f( )|=| =0| <ε
bo’ladi. Bu holda n₀ natural son faqat ε gagina bog’liq bo’lib, qaralayotgan x(x∈(-∞, +∞)) nuqtalar uchun umumiydir.
2. Ushbu
{(f_n(x)}={ } (0 x 1)
funksional ketma-ketlikni qaraylik.
Bu funksional ketma- ketlikning limit funksiyasi f(x)=x bo’ladi:
f(x)= f_n(x)= =x.
Bu yaqinlashishning xarakteri ham avvalgi misoldagidek. Haqiqatan ham, Ɛ˃0 (𝜀<1) sonni olaylik. n₀ sifatida
n₀ =[ (1+x₀)( -1) ]
ni olsak, ∀ n>n₀ va x𝜖[0,1] nuqta uchun
|f_n(x₀)-f(x₀)|=| -x₀|= <ε
bo’ladi. Bu yerda, ravshanki, n₀ son ε ga va x₀ nuqtaga bog’liqdir. Biroq
deb
= n₀=[2( -1)]
olinsa ∀ n> va ∀ x𝜖[0,1] uchun bajarilaveradi. Demak, natural son barcha x(0 x 1) nuqtalar uchun umumiy bo’ladi.
Agar M to’plamda funksional qatorning qismiy yeg’indilaridan iborat {S_n(x)} funksional ketma- ketlik qator yeg’indisi S(x) ga tekis yaqinlashsa, u holda bu funksional qator M to’plamda tekis yaqinlashuvchi deb ataladi, aks holda, ya’ni {S_n(x)} funksional ketma-ketlik M to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashsa, funksional qator M to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashmaydi deyiladi.
Shunday qilib, funksional qatorlarning tekis yaqinlashuvchanligi (yaqinlashmovchanligi) tushunchasi ham ularning oddiy yaqinlashuvchanligi singari, funksional ketma-ketliklarning tekis yaqinlashuvchanligi (yaqinlashmovchiligi) orqali kiritiladi.
Misollar. Ushbu
(0 x +∞)
funksional qatorni qaraylik. Bu qatorning qismiy yeg’indisi
S(x)= + + . . . + =( - )+( - )+ . . . +( - )= -
bo’lib, uning yeg’indisi
S(x)= S_n(x)= ( - )= .
Ta’rifga ko’ra, Ɛ˃0 son olinganda n₀=[ -(1+x)] deyilsa, barcha n>n₀ uchun
|S_n(x)-S(x)|=| - - |= <ε
bo’ladi. Bundagi n₀ natural son Ɛ˃0 ga hamda x (0 x +∞) nuqtalarga bog’liq. Biroq deb
= [ -(1+x)]=[ -1]
ni olinsa, unda bo’lgan n larda yuqoridagi tengsizlik bajarilaveradi. Demak, berilgan funksional qator uchun ta’rifdagi natural son x (0 x +∞) nuqtalari uchun umumiy bo’ladi, ya’ni x ga bog’liq bo’lmaydi. Demak, berilgan funksional qator tekis yaqinlashuvchi.
2. Quyidagi
(0 x +∞)
funksional qatorni qaraylik. Bu funksional qatorning qismiy yeg’indisi
S_n(x)= + + . . . + = (1- )+( - )+ . . . + +( - )=1-
bo’lib, uning yeg’indisi
S(x)= S_n(x)= (1- )=1 (0
Ta’rifga ko’ra, Ɛ˃0 son olinganda n₀=[( -1) ] (x 0) deyilsa, barcha n>n₀ uchun
|S_n(x)-S(x)|=|1- -1|= ≤ <ε
bo’ladi. Agar x=0 bo’lsa, ravshanki, ∀ n uchun S_n(0)=S(0)=1 bo’lib,
S_n(0)-S(0)=0
bo’ladi. Bundagi n₀ natural son ε>0 va (0nuqtalarga bog’liq bo’lib, u barcha x (0 x +∞) nuqtalar uchun umumiy bo’la olmaydi( bu holda n₀=[( -1) ] ning (0, +∞) da x bo’yicha maksimum chekli son emas).
Boshqacha qilib aytganda, istalgan n natural son olsak ham shunday ε₀ >0 (masalan, ε₀= ) va x= ∈(0, +∞) nuqta topiladiki,
|S_n( )-S ( )|= <ε₀
bo’ladi.
Teorema. M(M R) to’plamda funksional qator berilgan bo’lib, uning yeg’indisi S(x) bo’lsin. Bu funksional qatorning M da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi uchun, uning qismiy yeg’indilari ketma-ketligi {S_u(x)} ning M da fundamental ketma-ketlik bo’lishi zarur va yetarli.

3. 
   Funksional qatorlarning tekis yaqinlashuvchanligi
   

Teorema. funksional qator M to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashish uchun

|S_n(x)-S(x)|=0
bo’lishi zarur va yetarli.
Misol. Ushbu
xⁿ=1+x+x²+ . . . +xⁿ+ . . .
funksional qator (-1, +1) da yaqinlashuvchi bo’lib, uning yeg’indisi
S(x)= .
ekanini ko’rgan edik. Bu funksional qator uchun
|S_n(x)-S(x)|=| | (x∈(-1, +1))
bo’lib,
|S_n(x)-S(x)|=+∞
bo’ladi. Demak, berilgan qator (-1, +1) oraliqda tekis yaqinlashuvchi emas.
Teorema. (Veyershtrass alomati). Agar ushbu
=u₁(x)+u₂(x)+ . . . +u_n(x)+ . . .
funksional qatorning har bir hadi M(M R) to’plamda quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsa va
c_n=c₁+c₂+ . . . +c_n+ . . .
sonli qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda funksional qator M to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Misol. Ushbu
(0 x<+∞)
funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi aniqlangan edi. Bu qatorning tekis yaqinlashuvchanligini Veyershtrass alomati yordamida osongina ko’rsatish mumkin. Haqiqatan ham,
| |=| |= ≤
bo’lishi hamda

Qatorning yaqinlashuvchanligidan berilgan funksional qatorning (0, +∞) da tekis yaqinlashuvchanligi kelib chiqadi.
10. Agar yuqoridagi funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,…) X
to`plamda uzluksiz bo`lib, bu funksional qator X to`plamda tekis yaqinlashuvchi
bo`lib, u holda qatorning yig`indisi S(x) ham shu to`plamda uzluksiz bo`ladi.
20. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had
integrallash mumkin, ya`ni

qator yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi esa

ga teng bo`ladi.
Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba`zi kuchaytirilgan qator ham deb
ataydilar.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

1. 
   Toshkent “O’zbekiston” 1995. T. Azlarov, X. Mansurov.(Matematik analiz 2-qism)
   
2. 
   Toshkent “O’zbekiston” 1995. A. Sadullayev, X. Mansurov, G. Xudoberganov, A. Vorisov, R. G’ulomov