Текисликда тўғри чизиқ тенгламаларининг ҳар хил кўринишлари

§1. Текисликда тўғри чизиқ тенгламаларининг ҳар хил кўринишлари

Агар текисликда ихтиёрий тўғри бурчакли декарт координаталар Оху системаси киритилган бўлса, ҳар қандай биринчи даражали

Ах+Ву+С=0 (3.1)
тенглама шу системага нисбатан тўғри чизиқни аниқлайди. Фараз қилинадики, А,В ва С – ихтиёрий ўзгармас сонлар ва А, В ўзгармаслардан камида биттаси нолдан фарқли.
Кўриниб турибдики, координаталари (3.1) тенгламани қаноатлантирувчи камида битта М₀(х₀,у₀) нуқта мавжуд, яъни
Ах₀+Ву₀+С=0. (3.2)
(3.1) тенгламадан (3.2) тенгликни айириб, (3.1) га эквивалент
А(х-х₀)+В(у-у₀)=0, (3.3)
тенгламани ҳосил қиламиз.
(3.3) тенглама, шунингдек, (3.1) тенглама М₀ (х₀, у₀) нуқтадан ўтувчи ва n=А;В векторга перпендикуляр L тўғри чизиқни аниқлайди, агар М(х,у) нуқта фақат кўрсатилган L тўғри чизиқда ётса, унинг координаталари (3.3) тенгламани қаноатлантиради, фақат бу ҳолда n=А;В ва =х-х₀, y-y₀ векторлар ўзаро ортогонал ва уларнинг скаляр кўпайтмаси n =А(х-х₀) + В(y-y₀) нолга тенг.
Бошқача қилиб айтганда, М₀(х₀, y₀) нуқтадан ўтувчи ва берилган n=А; В векторга перпендикуляр L тўғри чизиқ – бу n =А(х-х₀) + В(y-y₀)=0 тенгламани қаноатлантирувчи барча М(х,y) нуқталар тўпламидир.
n=А;В вектор (3.1) тўғри чизиқнинг нормал вектори дейилади. Агар барча А,В ва С коэффициентлар нолдан фарқли бўлса, (3.1) тенглама тўла дейилади. Агар коэффициентлардан камида биттаси нолга тенг бўлса, тенглама тўла эмас дейилади. Шундай қилиб, агар:

1. С=0 бўлса, Ах+By=0 тенглама координаталар бошидан ўтувчи тўғри чизиқни аниқлайди;

   
   

2. В=0 бўлса, Ах+C=0 тенглама Оy ўққа параллел тўғри чизиқни аниқлайди;

   
   

3. А=0 бўлса, Вy+C=0 тенглама Ох ўққа параллел тўғри чизиқни аниқлайди;

   
   

4. В=О, С=0 бўлса, Ах=0 тенглама Оy ўқни аниқлайди;

   
   

5. А=0, С=0 бўлса, By=0 тенглама Ох ўқни аниқлайди.

   
   

Тўғри чизиқнинг тўла тенгламаси тўғри чизиқнинг кесмалар орқали берилган тенгламаси деб аталувчи ушбу
, (3.4)
кўринишга келтирилиши мумкин. Бу ерда, кўриниб турибдики, ва бу сонлар тўғри чизиқнинг мос равишда Ох ва Оy ўқларидан ажратган кесмаларнинг катталиги.
Берилган тўғри чизиққа параллел ихтиёрий нолмас вектор шу тўғри чизининг йўналтирувчи вектори дейилади.
М₀(х₀,y₀) нуқтадан ўтувчи ва йўналтирувчи векторга эга бўлган тўғри чизиқ деб, шундай М(х,y) нуқталар тўпламига айтиладики, бунда =х-х₀,y-y₀ ва а= векторлар коллинеар, яъни уларнинг координаталари пропорционал бўлади:
. (3.5)
(3.5) тенглама тўғри чизиқнинг каноник тенгламаси дейилади.
Берилган иккита М₁(х₁,y₁) ва М₂(х₂,y₂) нуқталардан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси қуйидаги кўринишга эга:
, (3.6)
бу ерда: М₀(х₀, y₀) нуқтанинг ролини М₁(х₁,y₁) нуқта ўйнайди, йўналтирувчи вектор сифатида эса а= =х₂-х₁,y₂-y₁ вектор олинган.
(3.5) тенгламанинг ўнг ва чап томонида турган катталикларни t параметр билан белгилаб, тўғри чизиқнинг қуйидаги параметрик тенгламаларини ҳосил қиламиз
. (3.7)
Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси деб, қуйидаги кўринишдаги
y=kх+b (3.8)
тенгламага айтилади, бу ерда k берилган тўғри чизиқнинг бурчак коэффициенти ва k=tg,  - тўғри чизиқ билан Ох ўқ орасидаги бурчак, b эса тўғри чизиқнинг координата бошидан бошлаб Оy ўқдан ажратган кесма катталигидир.