Tekislikda to‘g‘ri chiziq va uning tenglamalari

3. To‘g‘ri chiziq tenglamalari


D I. To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi

Tekislikdagi nuqtalarning koordinatalari o‘zgaruvchi bo‘lib, ular faqat shartni qanoatlantirsak (bu yerda, va sonlar tayinlangan bo‘lib, – burchak koeffitsienti deb ataladi). Ma’lumki, bu shartni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to‘plama to‘g‘ri chiziqni tashkil etadi. Masalan, (bu yerda ) tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar II va IV choraklar bissektrisasini hosil qiladi. Aksincha, ordinata o‘qiga parallel bo‘lmagan ixtiyoriy to‘g‘ri chiziqdagi barcha nuqtalarning koordinatalari biror va sonlar uchun shartni qanoatlantiradi. Bu holda tenglik shu to‘g‘ri chiziqning tenglamasi deyiladi. Xususan, to‘g‘ri chiziq abssissa o‘qiga parallel bo‘lsa, undagi barcha nuqtalarning ordinatalari o‘zaro teng, ya’ni o‘zgarmas bo‘ladi. Bu holda bo‘lib, to‘g‘ri chiziq tenglamasi ko‘rinishda bo‘ladi. Agar to‘g‘ri chiziq o‘qqa parallel bo‘lmasa, bo‘lib, to‘g‘ri chiziq o‘qini nuqtada, o‘qini nuqtada kesib o‘tadi (5-chizma ).

5-chizma


to‘g‘ri chiziqning o‘qning musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagi va koordinatalar boshi bo‘lsin. U holda to‘g‘ri burchakli uchburchakdan tenglik kelib chiqadi. Demak, to‘g‘ri chiziqning o‘qi bilan hosil qilgan burchagi bo‘lib, holda tenglikdan topiladi. Agar bo‘lsa, – o‘tmas burchak. Ma’lumki, ikki to‘g‘ri chiziq ularni kesib o‘tuvchi uchini to‘g‘ri chiziq bilan teng burchaklar hosil qilsa, dastlabki ikki to‘g‘ri chiziqlar parallel. Bu jumlaning teskarisi ham o‘rinli (parallellik aksiomasi). Demak, va to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lsa, ular o‘qi bilan teng burchaklarni tashkil etadi . U holda , ya’ni to‘g‘ri chiziqlarning parallellik sharti tenglikdan iborat.
Misol. to‘g‘ri chiziqqa parallel va nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi bo‘lsin. U to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgani uchun , ya’ni ko‘rinishga ega. nuqta shu to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lgani uchun: . Bu yerdan bo‘lib, bo‘ladi.
Shunday qilib, nuqta to‘g‘ri chiziqda yotishi uchun ning koordinatalari to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanoatlantirishi shart:

Endi ikkita to‘g‘ri chiziq tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin: va . Shu to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtasi qanday topiladi? Agar ularning kesishish nuqtasi bo‘lsa, u ikkala to‘g‘ri chiziqqa ham tegishli bo‘lishi shart. Demak, izlanayotgan sonlar ikkala to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanoatlantirishi zarur:

 ya’ni ikki noma'lumli tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu sistemadan , ekanligini osonlikcha topamiz. Shunday qilib, bo‘lganda sistemaning yechimi yo‘q , bu holda to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lib, ular kesishmaydi. Agar bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona echimga ega: , , bu holda to‘g‘ri chiziqlar yagona kesishish nuqtasi ga ega. Nihoyat va bo‘lsa, sistema, cheksiz ko‘p echimga ega, to‘g‘ri chiziqlar esa ustma-ust tushadi.
Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak deb, ular kesishishidan hosil bo‘lgan o‘tkir yoki to‘g‘ri burchakka aytiladi.



6-chizma

Tenglamalari , bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak , ya’ni formuladan topiladi. Haqiqatan, bu to‘g‘ri chiziqlarning o‘qi bilan hosil qilgan burchaklari mos ravishda va bo‘lsin (7-chizma). To‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak bo‘lsin.

7-chizma

Chizmadan ravshanki, to‘g‘ri chiziqlar va abssissa o‘qi tashkil qilgan uchburchakda tashqi burchak. Ma’lumki, , ya’ni . U holda va , ekanligini va aniqlanishiga ko‘ra – o‘tkir burchak ekanligini hisobga olsak, tenglik kelib chiqadi. Agar , ya’ni bo‘lsa, mavjud emas. Bu esa burchakka mos keladi. Demak, to‘g‘ri chiziqlarning perpendikulyarlik sharti tenglikdan iborat.
Misol. Uchlari ; ; bo‘lgan uchburchakning balandligi yotgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
Avval to‘g‘ri chiziq tenglamasini ko‘rinishda izlab, va nuqtalar shu to‘g‘ri chiziqda yotgani uchun

tengliklar sistemasidan burchak koeffitsientini topamiz. balandlik to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar. Perpendikulyarlik sharti dan to‘g‘ri chiziq burchak koeffitsienti ekanligi, tenglamasi esa ko‘rinishda bo‘lishi topamiz. Nihoyat nuqta to‘g‘ri chiziqda yotishidan kelib chiqadi. Demak, tenglamasi ekan.
Endi biror tayinlangan nuqta bo‘lsin. Ravshanki, ixtiyoriy uchun:

ya’ni tenglama to‘g‘ri chiziq tenglamasi va u albatta nuqtadan o‘tadi. Yuqoridagi tenglama nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlar dastasining tenglamasi deyiladi.