Tekislikda to‘g‘ri chiziq va uning tenglamalari

II. To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi.

Ravshanki, abssissasi bo‘lgan barcha nuqtalar ordinata o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqni tashkil etadi, ammo bu to‘g‘ri chiziq tenglamasi ko‘rinishda ifodalanishi mumkin emas. Barcha to‘g‘ri chiziqlar tenglamalarini o‘z ichiga oluvchi tenglama ko‘rinishga ega bo‘lib, u to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. Bu erda sonlar tayinlangan sonlardir. Xususan, bo‘lganda to‘g‘ri chiziq emas, balki butun tekislik hosil bo‘ladi. Agar , ammo bo‘lsa ham to‘g‘ri chiziq emas, balki bo‘sh to‘plam hosil bo‘ladi. Bundan keyin biz bu ikki notabiy holatni chiqarib tashlab, , ya’ni va sonlardan kamida biri noldan farqi deb hisoblaymiz. Agar bo‘lsa, tenglama bilan aniqlangan to‘g‘ri chiziq o‘qiga parallel bo‘ladi. Nihoyat bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq tenglamasini bizga tanish bo‘lgan burchak koeffitsientli tenglamaga keltirish mumkin:

,
bu yerda – burchak koeffitsienti. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa

formuladan topiladi. Haqiqatan, to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsienti bo‘lib, nuqtadan o‘tuvchi barcha to‘g‘ri chiziqlar tenglamasi musbatda perpendikulyarlik shartga ko‘ra , ya’ni yoki kelib chiqadi. Endi

tenglamalar sistemasini va noma’lumlarga nisbatan yechib nuqtadan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan, perpendikulyarning asosi koordinatalari topiladi. Nihoyat masofa ikki va nuqtalar orasidagi masofa formulasidan topiladi (bu hisobotlarni bajarishni o‘quvchiga havola qilamiz). Yana ikki to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtasini topish masalasiga qaytaylik. E'tirof etilganga ko‘ra va to‘g‘ri chiziqlar kesishish nuqtasining koordinatalari

 tenglamalar sistemasidan topiladi. Bu sistemani yo‘qotish usuli deb ataluvchi usuldan foydalanib yechamiz. Buning uchun avval 1-tenglamani ga, 2-tenglamani ga ko‘paytirib, hosil bo‘lgan tengliklarni birinchisidan ikkinchisini ayirsak, , bundan esa

yechimni hosil qilamiz. Agar berilgan sistemalarning birinchisini ga, ikkinchisini ga ko‘paytirib so‘ngra ayirsak,

yechimni hosil qilamiz. Endi

ixtiyoriy 4 ta son bo‘lsin. Ushbu

ko‘rinishdagi va qiymati

songa teng bo‘lgan ifoda ikkinchi tartibli determinant deyiladi. Bu holda

sonlar 1-satr,

sonlar 2-satr,

sonlar mos ravishda 1-va 2-ustunlar deyiladi. Masalan,
; .
Kiritilgan determinant tushunchasidan foydalanib, Yuqoridagi tenglamalar sistemasining yechimini ushbu
;

ko‘rinishda yozish mumkin.
Natija. 1) Agar

bo‘lsa,

va

to‘g‘ri chiziqlar yagona nuqtada kesishadi.
2) Agar
,
ammo

va

determinantlardan kamida biri noldan farqli bo‘lsa, berilgan to‘g‘ri chiziqlar kesishmaydi va parallel bo‘ladi.
3) Agar uchala determinant ham nolga teng bo‘lsa to‘g‘ri chiziqlar ustma-ust tushadi.
Determinant tushunchasidan foydalanib

va

nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi

ekanligini tekshirish qiyin emas. Agar

to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasida

ko‘paytma noldan farqli bo‘lsin. U holda tenglamani songa bo‘lib

yoki

ko‘rinishga keltirish mumkin, bu yerda
.
Ta’rif.__ko‘rinishdagi_tenglama_to‘g‘ri_chiziqning_kesmalardagi_tenglamasi'>Ta’rif.

ko‘rinishdagi tenglama to‘g‘ri chiziqning kesmalardagi tenglamasi deyiladi. Bu nom to‘g‘ri chiziqning koordinata o‘qlarini kesib o‘tganda uzunliklari , bo‘lgan kesmalar hosil qilishi bilan bog‘liq.
Nihoyat,

tenglamada

ekanligini hisobga olsak

yoki

Bundan esa

ko‘rinishdagi tenglama hosil bo‘ladi.
Ta’rif.

tenglama to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi.