Tekshirdi: Mavzu: Ikki o’zgaruvchili funksiyaning hususiy hosilalari va ekstrimumi

f=Ax+By+αx +βy (5)
ko‘rinishda ifodalanib, unda A=A(x,y) va B=B(x,y) argumentlarning x va y orttirmalariga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, α va β esa x→0, y→0 holda cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi. To‘la orttirmaning x va y orttirmalariga nisbatan bosh, chiziqli qismi Ax+By funksiyaning differensiali deyiladi.
xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali (7) formula bilan aniqlanadi. Isbot: z=f(x,y) funksiyaning M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz: f =f(x+x, y+y)–f(x, y)=[f(x+x, y+y)–f(x, y+y)]+[f(x, y+y)–f(x, y)] .(8) Bu yerda kvadrat qavs ichidagi ayirmalar bir o‘zgaruvchili funksiyaning orttirmalarini ifodalaydi. I qavsdagi bir o‘zgaruvchili funksiya f(x,y+y) ko‘rinishda bo‘lib, uning argumenti [x, x+x] kesmada o‘zgaradi. Teorema shartiga ko‘ra f(x,y+y) funksiya bu kesmada hosilaga ega. Unda I qavsdagi orttirmaga Lagranj teoremasini (9) (10) (VIII bob, §3) qo‘llash mumkin: Xuddi shunday tarzda tеnglikni hosil qilamiz. Teorema shartiga ko‘ra xususiy hosilalar uzluksiz va bo‘lgani uchun tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan, limit xossasiga asosan (VII bob, §3, lemmaga qarang), quyidagi tengliklar kelib chiqadi: Bu yerda γ1 vа γ2 x→0, y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdorlar bo‘ladi. Endi (8) tenglikka dastlab (9)-(10), so‘ngra ular o‘rniga (11) tengliklarni qo‘yib, funksiyaning to‘la orttirmasini ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
Bir o‘zgaruvchili y=f(x) funksiya M(x) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun uning shu nuqtada faqat f ′(x) hosilasi mavjudligi talab qilinib, uning uzluksizligi talab etilmas edi. Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun esa uning xususiy hosilalarini mavjudligi differensiallanuvchi bo‘lishi uchun yetarli emas. Masalan, funksiya uchun f(x,0)=0 va f(0,y)=0 bo‘lgani uchun O(0,0) nuqtada uning xususiy hosilalari mavjud va (13) Ammo O(0,0) nuqtada bu funksiya to‘la orttirmasini (5) ko‘rinishda yozib bo‘lmaydi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy ∆x≠0, ∆y≠0 uchun ∆f=f(0+∆x, 0+∆y)–f(0,0)=1–0=1, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lganda cheksiz kichik miqdor emas. Demak, O(0,0) nuqtada bu funksiyaning xususiy hosilalari mavjud, ammo differensiallanuvchi emas.