14-mavzu: bir necha o‘zgaruvchining funksiyasini differensiallash funksiyaning xususiy hosilalari

14-mavzu: BIR NECHA O‘ZGARUVCHINING FUNKSIYASINI DIFFERENSIALLASH
Funksiyaning xususiy hosilalari
funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, , , va nuqtalar to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda argumentlarning orttirmalari.
va ayirmalarga funksiyaning nuqtadagi va o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.
ayirmaga
funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.
Misol
funksiyaning nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini va lar uchun topamiz:






1-ta’rif. Agar nisbatining dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ko‘rinishlarda belgilanadi.
Demak,
.
funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi:
.
( ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
Shunday qilib, bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining biror o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu o‘zgaruvchi funksiyasining, qolgan o‘garuvchilar o‘zgarmas deb hisoblangandagi hosilasi kabi topiladi. Shu sababli bir o‘zgaruvchi funksiyasining hosilalari uchun mavjud barcha differensiallash formulalari va qoidalari bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Bunda biror argument bo‘yicha xususiy hosilaning qoida va formulalarini qo‘llashda qolgan argumentlarning o‘zgarmas deb hisoblanishini yodda tutish
lozim.
Misollar
1. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:


2. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.
Fazoda funksiya bilan aniqlangan sirt berilgan bo‘lsin. Oxy tekislikda nuqtani va sirtda bu nuqtaga mos nuqtani olamiz.
ni o‘zgarmas deb, sirt bilan tekislik kesishmasida yassi egri chiziqni hosil qilamiz. egri chiziqqa nuqtada o‘tkazilgan urinma o‘q bilan burchak tashkil qilsin. U holda bir o‘zgaruvchi funksiyasi hosilasining geometrik ma’nosiga ko‘ra bo‘ladi, bu yerda urinmaning o‘qqa nisbatan burchak koeffitsiyenti (8- shakl).
Shu kabi ni o‘zgarmas hisoblab, sirt bilan tekislik kesishmasida yassi egri chiziqni hosil qilamiz. Bunda bo‘ladi, bu yerda urinmaning o’qqa nisbatan burchak koeffitsiyenti, urinmaning o‘q bilan tashkil qilgan burchagi (8-shakl).
Shunday qilib, xususiy hosilaning nuqtadagi qiymati sirt bilan tekislik kesishish chizig‘iga nuqtada o‘tkazilgan urinmaning o‘qi bilan tashkil qilgan burchagining tangensiga teng. Bu jumla xususiy hosilaning geometrik ma’nosini bildiradi