14-mavzu: bir necha o‘zgaruvchining funksiyasini differensiallash funksiyaning xususiy hosilalari

Bir nechta bog‘liqmas o‘zgaruvchi bo‘lgan hol
Biror sohada ikki o‘zgaruvchining funksivasi berilgan bo‘lib, bunda , ya’ni va o‘zgaruvchilar ikkita va o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘lsin. U holda funksiya ikkita va o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi bo‘ladi.
5-teorema. Agar , funksiyalar o‘z argumentlarining differensiallanuvchi funksiyalari bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning nuqtadagi xususiy hosilalari
(7.2.6)
formulalar bilan aniqlanadi.
Isboti. O‘zgaruvchilardan birini, masalan, ni fiksirlasak, bitta o‘zgaruvchining murakkab funksiyasiga aylanadi. Shu sababli (7.2.4) formulada
o‘zgaruvchini ozgaruvchi bilan almashtirib, topamiz:

formula shu kabi isbotlanadi.
Shunday qilib, murakkab funksiyaning har bir bog‘liqmas o‘zgaruvchi ( va ) bo‘yicha xususiy hosilasi bu funksiyaning oraliq o‘zgaruvchilar ( va ) bo‘yicha xususiy hosilalari bilan mos bog‘liqmas o‘zgaruvchi ( va ) xususiy hosilalarning ko‘paytmai yig‘indisiga teng.
, bu yerda bo‘lsin. U holda murakkab funksiyaning birinchi tartibli to‘liq differensiali

ko’rinishda aniqlanadi.
Bu tenglikka va funksiyalarning to‘liq differensiallari
va ni qo‘yib, topamiz:


Demak, murakkab funksiyaning to‘liq differensiali invariantlik xossasiga ega: murakkab funksiyaning to‘liq differensiali argumenti bog‘liqmas o‘zgaruvchi bo‘lsa ham, bog‘liqmas o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lsa ham bir xil
ko‘rinishda bo‘ladi.
Misol
bu yerda funksiya berilgan. , , larni topamiz.
Avval funksiyalarning xususiy hosilalarini aniqlaymiz:


U holda

yoki

Shu kabi
yoki

Bundan

(7.2.4), (7.2.5), (7.2.6) formulalar istalgan chekli sondagi argumentlarning
murakkab funksiyalari uchun tuzilishini saqlaydi.