14-mavzu: bir necha o‘zgaruvchining funksiyasini differensiallash funksiyaning xususiy hosilalari

5. Oshkormas funksiyani differensiallash
Agar ning to‘plamidagi har bir qiymatiga bilan birgalikda tenglamani qanoatlantiruvchi yagona qiymat mos qo‘yilsa, to’plamda tenglama bilan oshkormas funksiya aniqlangan deyiladi.
Masalan, tenglama butun sonlar o‘qida ga nisbatan funksiyani oshkormas aniqlaydi, chunki va ning bu tenglamani qanoatlantiradigan qiymatlar juftliklari mavjud ( va hokazo).
tenglamani ga nisbatan yechamiz: Natijada funksiyaning oshkor ko‘rinishi hosil bo‘ldi.
Oshkormas ko‘rinishda berilgan har qanday funksiyani ham oshkor ko‘rinishda yozib bo‘lmaydi. Masalan, tenglama oshkormas funksiyani aniqlaydi ( va ning bu tenglamani qanoatlantiradigan va boshqa qiymatlari mavjud). Ammo, bu tenglamani ga nisbatan yechib bo‘lmaydi.
tenglama hamma vaqt ham yagona oshkor funksiyani aniqlamaydi. Masalan, tenglama kesmada va funksiyalarni aniqlaydi, tenglama esa hech bir oshkormas funksiyani aniqlamaydi.
funksiya qanday shartlarni qanoatlantirganda tenglama yagona oshkormas funksiyani aniqlaydi? Bu savolga javob beradigan teoremani isbotsiz keltiramiz.
6-teorema (oshkormas funksiyaning mavjudlik teoremasi). Agar funksiya xususiy hosilalari bilan birgalikda nuqtaning biror atrofida aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, bo‘lsa, u holda tenglama bu atrofda nuqtani o‘z ichiga olgan qandaydir oraliqda uzluksiz va differensiallanuvchi yagona (bunda bo‘ladi) oshkormas funksiyani aniqlaydi.
Ikki o‘zgaruvchining 6-teorema shartlarini qanoatlantiruvchi tenglamasi berilgan bo‘lsin. U holda bu tenglama oshkormas funksiyani aniqlaydi. Tenglamada ning o‘rniga funksiyani qo‘yib, ayniyatni hosil qilamiz.
Aynan nolga teng funksiyaning hosilasi nolga teng bo’lganidan

Bundan
(7.2.7)
tenglama oshkormas funksiyani aniqlasin. Bunda
funksiyaning va ozgaruvchilar bo‘yicha xususiy hosilalari
(7.2.8)
tengliklar bilan aniqlanadi.
Misollar
1. tenglama bilan oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyaning hosilasini topamiz. Buning uchun tenglamaning chap tomonini orqali belgilaymiz va uning xususiy hosilalarini aniqlaymiz:

Demak,

2. tenglama bilan oshkormas ko‘rinishda berilgan funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz. Misolning shartiga ko‘ra
Bundan

U holda