14-mavzu: bir necha o‘zgaruvchining funksiyasini differensiallash funksiyaning xususiy hosilalari

4.Murakkab funksiyani differensiallash
Bitta bog‘liqmas o‘zgaruvchi bo‘lgan hol
Biror sohada ikki o‘zgaruvchining funksivasi berilgan bo‘lib, bunda , ya’ni va o‘zgaruvchilar qandaydir o‘zgaruvchining funksiyalari bo‘lsin. U holda funksiya bitta o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi bo‘ladi, bu yerda oraliq o‘zgaruvchilar.
4-teorema. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lib, bog‘liqmas o‘zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyalari bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning nuqtadagi xususiy hosilasi
(7.2.4)
formula bilan aniqlanadi.
Isboti. Bog’liqmas o‘zgaruvchiga orttirma beramiz. U holda va funksiyalar mos ravishda va orttirma oladi. O‘z navbatida bu orttirmalar funksiyaga orttirma beradi.
Shartga ko‘ra funksiya nuqtada differensiallanuvchi. U holda uning to‘liq orttirmasini

ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda da
Tenglikning har ikkala tomonini ga bo‘lamiz va da limitga o‘tamiz. va funksiyalar differensiallanuvchi bo‘lgani uchun ular uzluksiz. Shu sababli da .
U holda
,
ya’ni

yoki
.
Xususan, , bu yerda bo‘lsin. Bunda bitta x o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi bo‘ladi.
U holda (7.2.4) formulaga ko‘ra

yoki
(7.2.5)
(7.2.5) formula bo‘yicha to‘liq differensial formulasi deb ataladi.


Misollar
1. , funksiya uchun ni topamiz. Bunda avval
funksiyalarning hosilalarini aniqlaymiz:


U holda (7.2.4) formulaga ko‘ra

va ni orqali ifodalab, topamiz:

2. bu yerda funksiyaning hosilasini topamiz:

ni o‘rniga qo‘yamiz: