Tema: Aniq emes integral. Racional bólshekli funkciyalardi integrallaw. Jobasi: I. Kirisiw II. Tiykarǵi bólim

Tema: Aniq emes integral. Racional bólshekli funkciyalardi integrallaw.
Jobasi:
I. KIRISIW
II. TIYKARǴI BÓLIM
a) Aniq emes integral.
b) Racional bólshekli funkciyalardi integrallaw.
c) Aniq emes integral hám racional bólshekli funkciyalarǵa misallar.
III. JUWMAQ
IV. PAYDALANILǴAN ÁDEBIYATLAR

I. KIRISIW
Baslanǵısh funksiya túsinigi. Qandayda bir intervalda eki f hám F funksiyalar berilgen bolıp, olar
F’(x) = f(x)
munasábet menen baylanısqan bolsın. Joqarıda bayanlanis qanday, bunda f funksiya F funksiyanıń tuwındı dep ataladı. F funksiyanı bilgen halda f funksiyanı tabıw usılların kórip shıqtıq. Bul bapta bolsa biz teris máseleni úyrenemiz, yaǵnıy eger f funksiya málimbolsa, tuwındı f ga teń bolǵan F funksiyanı tabıw usılllari menen tanısamız. Eger F funksiya qandayda bir intervalda differensiallanuvchi bolıp, teńlik atqarılsa, F funksiya sol intervalda f funksiya ushın baslanǵısh funksiya dep ataladı.
Mısal. (sin x)’ 0 = cos x. Sonday eken,
f (x) = cos x
funksiyanıń baslanǵısh funksiyası boladı.
F (x) = sin x
Matematikada, kóbinese, qandayda bir operatsiyaǵa teris operatsiya kiritilgende,ol birden-bir túrde anıqlanbaydi. Mısalı, kvadratqa asırıw operatsiyasına teris operatsiya kvadrat túbir shıǵarıw operatsiyası bolıp tabıladı. Bunda hár bir haqıyqıy x sanı ushın a = x2 san birden-bir túrde anıqlansada, biraq qálegen oń a sanı ushın sonday eki túrli x 1 hám x 2 sanlar tabıladıki, olardıń hár birewiniń kvadratı a ga teń boladı. Soǵan uqsas hal berilgen funksiyaǵa baslanǵısh funksiyanı tabıwda da júz boladı. Mısalı, eger F (x) funksiya f ushın baslanǵısh funksiya bolsa, qálegen C ózgermeytuǵındı alsaq, F (x) + C funkciya da, álbette, taǵı baslanǵısh funksiya boladı. Sol orında f funksiyanıń basqa baslanǵısh funksiyaǵa iye emesligin belgilep ótemiz. Eger eki F 1 hám F 2 funksiyalar qandayda bir intervalda f funksiya ushın baslanǵısh funksiyalar bolsa, ol halda sonday C ózgermeytuǵın san tabıladıki, belgilengen intervalda teńlik atqarıladı.

Eger

dep belgilesek,

boladı. Sonday eken, Lagranj formulasınıń nátiyjesine kóre, g (x) = const eken.Berilgen f funksiya ushın baslanǵısh funksiya tabıw procesi f funksiyanı integrallaw dep ataladı. Mısalı, cos x funksiyanıń integrallaw nátiyjesi sin x funksiyası bolıp tabıladı. Eger F funksiya f ushın qandayda bir baslanǵısh funksiya bolsa, qálegen basqa baslanǵısh funksiyanıń F (x) + C kóriniske iye ekenligi kelip shıǵadı, bunda C qálegen ózgermeytuǵın son bolıp tabıladı. Bul F (x) +C funksiya f ushın baslanǵısh bolǵan funksiyalardıń eń ulıwma kórinisi bolıp, onıń zárúrligi sebepli, ol anıq emes integral degen arnawlı atqa iye hám ol tómendegishe belgilenedi:

Sonday etip, f funksiyadan alınǵan anıqmas integral tómendegi

ańlatpaǵa teń dep esaplanadı, bunda F funksiya f funksiyanıń qandayda bir baslanǵısh funksiyası bolıp, C bolsa qálegen ózgermeytuǵın son bolıp tabıladı. Mısalı,

Sonı da aytıw kerek, házirgi kúnde matematikalıq ilimiy ádebiyatlarda bul belgilewaste uyań joǵala baslap, onıń ornına ¾aniqmas intervalda¿ alınǵan anıq integral túsinigi kóbirek isletilineyapri. Lekin sabaqlıqlarda bul belgilewden tap aldinǵidan keń paydalanılıp kelinip atir. Eger F (x) funksiya f (x) funksiyanıń baslanǵısh funksiyası bolsa, dF (x) = f (x) dx boladı. Sol sebepli teńlikti

kóriniste jazıw múmkin. Mısalı,

funkciya bolǵanı ushın