Tema: Aniq emes integral. Racional bólshekli funkciyalardi integrallaw. Jobasi: I. Kirisiw II. Tiykarǵi bólim

II.TIYKARǴI BÓLIM.
Anıq emes integrallar kestesi. Eń ápiwayı elementar funksiyalar tuwındılarınıń kestesinen tikkeley oǵan uyqas anıqmas integrallardıń kestesi kelip shıǵadı. Bulkeste ádetde tómendegi kóriniste keltiriledi:

Bul keste degi barlıq formulalardıń tuwrılıǵı oń tárepte turǵan ańlatpadan tikkeley tuwındı alıw menen tekseriledi. Integrallawdıń tiykarǵı usılları anıq emes integraldıń sızıqlılıǵı. Anıqmas integraldıń tıykarǵi ózgesheliklerinen biri onıń sızıqlılıǵı bolıp tabıladı. Eger f hám g funksiyalar qandayda bir intervalda baslanǵısh funksiyaǵa iye bolıp, λ hám µ lar qálegen haqıyqıy sanlar bolsa, ol halda λf + µg funksiya da sol intervalda baslanǵısh funksiyaǵa iye bolıp,

teńlik atqarıladı hám differensiallaw ámeliniń sızıqlılıǵınan kelip shıǵadı. Ózgeriwshin almastırıp integrallaw. Ózgeriwshin almastırıp integrallaw usılı tómendegi tastıyıqqa tiykarlanadı.Berilgen g (t) funksiya G (t) baslanǵısh funksiyaǵa iye bolsın, yaǵnıy

bolsın. Bunnan tısqarı, ϕ (x) - qálegen differensiallanuvchi funksiya bolıp, onıń bahaları kompleksi g funksiyanıń anıqlanıw tarawına tiyisli bolsın. Ol halda tómendegi

teńlik atqarıladı hám teńliktiń ońında turǵan funksiyanı tikkeley differensiallaw hám quramalı funksiya tuwındı arqalı ámelge asıriladı. Ózgeriwshin almastırıp integrallaw usılı tómendegishe qollanıladı. Aytayliq, f (x) funksiya ushın baslanǵısh funksiya tabıw talap etilsin. Biz bul funksiyanı tómendegi

kóriniste jazıp alıwǵa eristik, dep shama menen oylayıq. Bunda g hám ϕ lar háriplerin qánaatlantıratuǵın funksiyalar bolsın. Ol halda biz

dep jazıwımız múmkin. Eger t = ϕ (x) desek, dt = ϕ 0 (x) dx boladı hám sol sebepli, teńlikten

munasábet kelip shıǵadı. Sonday eken, ózgeriwshin almastırıp integrallaw usılı anıqmas integral astındaǵı ańlatpada x ózgeriwshi ornına t = ϕ (x) funksiyaǵa teris bolǵan ϕ −1 (t) funksiyanı qoyıwdan ibarat deyiw múmkin. Usınıń sebepinen, bul usıl kóbinese ornına qoyıw usılı dep da ataladı. Bul usılda názerde tutılǵan nátiyjege erisiw tiykarlanıp ϕ (x) funksiyanı qanshellilik tuwrı tańlanıwına baylanıslı, sebebi bul funksiya saylanǵannan keyin g funksiya birden-bir túrde anıqlanadı. Ózgeriwshin almastırıw ushın universal algoritm bolmaǵanı sebepli, ornına qoyıw usılı menen kerekli ámeliy nátiyjege erisiw esaplawwshiniń uqıpına, yaǵnıy onıń intuitsiyasiga hám formulalardı tiyisli túrde almastırıw boyınsha iyelegen bilimine baylanıslı. Bir qarawda, qawsırmanı Nyuton bınama formulası járdeminde ashıp, integral astındaǵı ańlatpanı 2008 haddan ibarat jıyındı kóriniste jazıp alıp, keyininen baslanǵısh funkciyanı esaplaw kerek sıyaqlı kórinedi. Biraq, eger tómendegi t = 2 x + 5, dt = 2 dx almastırıwdı atqarsak, integral ańsat esaplanadı.

Eger ol hám v funksiyalar qandayda bir intervalda differensiallawshi bolıp, ol 0 (x) v (x) kóbeytpe sol intervalda baslanǵısh funksiyaǵa iye bolsa, ol halda ol (x) v 0 (x) kóbeytpe de sol intervalda baslanǵısh funkciyaǵa iye boladı hám

teńlik atqarıladı. Eger kóbeytpe tuwındı ushın málim bolǵan

formuladan paydalansaq,

boladı. Bunda, oń tárep baslanǵısh funksiyaǵa iye bolǵanı ushın, shep tárepda baslanǵısh funksiyaǵa iye esaplanadı. Sonday eken, bul teńlikti integrallap, talap etilgen formulanı alamız. Esletpe. teńlikti ádetde

kóriniste jazadı. Álbette, bóleklap integrallaw usılı teńliktiń ońdaǵı integral onıń shep tárepindegi integraldan ańsatlaw esaplanǵan haldaǵana payda beredi.Mısal. Tómendegi integraldı

Eger ol = x, dv = cos x dx desek, du = dx, v = sin x boladı hám (5. 2. 7) formula boyınsha bóleklep integrallasaq,

teńlikti alamız.
Mısal. Tómendegi integraldı

Eger ol = x 2, dv = cos x dx desek, du = 2 xdx, v = sin x boladı hám bóleklep integrallasaq,

teńlikti alamız. Oń tárep degi integraldı esaplaw ushın biz bul sapar ol = x, dv = sin xdx de taǵı bóleklep integrallaw formulasın qollaymiz. Nátiyjede

teńlik payda boladı.
Kompleks bahalı x haqıyqıy ózgeriwshili f (x) funksiyasınıń baslanǵısh funksiyası dep
F’(x) = f (x)
teńlikti qánaatlantıratuǵın kompleks bahalı F (x) funksiyaǵa aytıladı. Kompleks bahalı x haqıyqıy ózgeriwshili F (x) = Ol (x) +iv (x) funksiya kompleks bahalı f (x) = ol (x) +iv (x) funksiyanıń baslanǵısh funksiyası bolıwı ushın Ol (x) funksiya ol (x) dıń hám v (x) funksiya v (x) dıń baslanǵısh funksiyası bolıwı zárúr hám jetkilikli bolıp tabıladı. Tastıyıq tikkeley baslanǵısh funksiya tariypidan kelip shıǵadı. Bul halda da baslanǵısh funksiyanıń ulıwma kórinisi anıqmas integral dep ataladı hám tómendegishe belgilenedi hám bul jerde C = C 1 + iC 2 - qálegen kompleks ózgermeytuǵın san. Sonday etip, f kompleks bahalı funksiyanı integrallaw máselesi eki haqıyqıy funksiyanı, yaǵnıy f funksiyanıń haqıyqıy hám abstrakt bólimlerin integrallawǵa keler eken.
Mısalı, eger
f (x) = cos x + i sin x
bolsa,
f (x) dx = sin x − i cos x + C
teń boladı. Kompleks bahalı funksiya ushın baslanǵısh funksiya tabıw procesi integrallaw dep atalıp, ol tap haqıyqıy funksiyanı integrallaw ámeli iye bolǵan ózgesheliklerge iye esaplanadı.

Mısal. Eger a hám b haqıyqıy sanlar bolıp, c = a + ib bolsa,

funksiyanıń baslanǵısh funksiyası boladı.
Mısal. Shama menen oylayıq, a hám b haqıyqıy sanlar bolıp, c = a + ib bolsın. Eger Φ (x, c) (5. 3. 3) teńlik menen anıqlanǵan funksiya bolsa, qálegen natural n sanı ushın

teńlik orınlı boladı. Tastıyıq tikkeley teńlikten kelip shıǵadı. Bul bandda kompleks algebraik polinomlarni, yaǵnıy tómendegi kórinistegi
P (z) = a 0 z n + a 1 z n−1 +... + a n−1 z + a n
funksiyalardı úyrenemiz, bul jerde a k - berilgen kompleks sanlar bolıp, z = x + iy
bolsa kompleks ózgeriwshi bolıp tabıladı. Eger a 0 6= 0 bolsa, n natural san polyarlaniwng dárejesi dep ataladı hám eger barlıq z ∈ C larda P (z) = 0 bolsa, polinom áyne nolge teń dep ataladı. Eger polinom áyne nolge teń bolsa, onıń barlıq koefficiyentleri nolge teń boladı. Tómendegi

teńlik orınlansın, dep shama menen oylayıq. Eger bul teńlikte z = 0 desek, a n = 0 payda boladı. Sonday eken, joqarıdaǵı teńlikti

kóriniste jazıw múmkin. Nátiyjede, z= 0 ushın

Shep tárep degi funksiya úzliksiz bolǵanı sebepli, bul teńlik z = 0 de de orınlı boladı, yaǵnıy, bunnan shıqtı, teńlik barlıq z ∈ C larda atqarıladı. Ónim bolǵan teńlikte z = 0 desek, a n−1 = 0 ni alamız. Bul processni dawam ettirsak, P polyarlaniw barlıq koefficiyentleriniń nolge teńligi kelip shıǵadı. Eger eki polinom bir-birine áyne teń bolsa, ol halda olar birdey koefficiyentlerge iye esaplanadı. Bul tastıyıq joqarıdaǵı nátiyjesi bolıp tabıladı. Rasında, bul polyarleniwdiń ayırması áyne nolge teń bolıp, nátiyjede ayırmanıń barlıq koefficiyentleri nolden ibarat boladı. Hár qanday oń dárejeli polyarlaniw dárejesi kishilew bolǵan qálegen polyerleniwge bolıw haqqındaǵı náwbettegi tastıyıq algebraik polinomlar teoriyasında zárúrli axamiyatga iye esaplanadı. Eger P (z) dárejesi n ≥ 1 bolǵan qálegen polinom bolsa, ol halda dárejesi m ≤ n bolǵan qálegen H (z) polinom ushın dárejesi n − m bolǵan sonday Q (z) hám dárejesi m den kishi bolǵan sonday R (z) polinomlar tabıladıki,olar ushın
P (z) = H (z) , Q (z) + R (z) (5. 4. 2)
teńlik orınlı boladı.Joqarıdaǵı polinomlar ushın ornatılǵan atamalardan paydalanıladı, yaǵnıy P -bóliniwshi, H - bóliwshi, Q - koefficient, R - qaldıq dep ataladı. ¾ múyesh usılı menen bolıw arqalı tastıyıqlanadı.