Тема Круглый металлический волновод Вывод формул для поля

Тема 5.
Круглый металлический волновод


1. Вывод формул для поля

Рис.18
П ри анализе волн в круглом волноводе (рис.18) будем считать, что заполняющая его среда - идеальный диэлектрик с параметрами ε и μ, а оболочка обладает бесконечной проводимостью. В таком волноводе возможно раздельное существование Е- и Н-волн и невозможно существование ТЕМ-волн. При анализе естественно использовать цилиндрическую систему координат, совместив ось Ζ с продольной осью волновода. Для упрощения изложения введем функцию w=w (r, φ, z) = w⁰ (r, φ) exp (- i ßz), которая в случае Ε-волн равна E_mz, а в случае Н-волн - Н_тz. Функция w⁰ (r, φ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
(1)
где, как обычно, . Представим функцию w⁰ в виде w⁰= R(r) Φ(φ). Разделяя переменные в уравнении (1) 1, получаем
(2)
(3)
где , C и D -произвольные постоянные.
При r→0 функция Неймана стремится к бесконечности, а составляющие Е_mz и Н_тz должны быть ограничены. Поэтому нужно считать D = 0. При этом имеем
. (4 )
В случае Е-волн w(r, φ, z) = E_z(r, φ, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные формулами (9.19) и (9.20). Вводя обозначение ВС = E_0Ζ получаем
(5a)
где
(5б)
а штрих означает дифференцирование функции Бесселя по всему аргументу.
Так же как в формулах для поля в прямоугольном волноводе, индекс т в формулах (10.32а) и (10.326) имеет разный смысл. В (10.32а) он означает, что записана комплексная амплитуда рас­сматриваемой функции, а в (10.32б) т - определяет порядок функции Бесселя.
Входящая в (10.32б) постоянная φ₀ влияет только на начало отсчета угла φ, ее изменение соответствует повороту структуры поля вокруг оси Ζ. В рамках используемой физико-математической модели постоянные E_Oz и φ₀ определить нельзя. Для их нахождения требуются дополнительные данные об источнике, создающем поле в волноводе (о мощности бегущей волны, ориентации вектора E и т.д.).
Ч тобы найти неизвестную постоянную , используем граничное условие. В рассматриваемом случае из него следует равенство
, (6)
где а - радиус волновода (см. рис.18). Подставляя выражение для из (5б) в (6), получаем
. (7)

Рис.19

Имеется бесконечное множество значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называют корнями функции Бесселя. Обозначая п-й корень функции Бесселя т-го порядка
через (см. рис.19), из (7) находим
. (8)
Параметр β вычисляется по известной формуле.
Как видно, в круглом волноводе возможно существование Е-волн различной структуры. Наименование этих волн производится в соответствии с обозначением корней уравнения (7). Например, корню v₀₁ ^E соответствует волна E₀₁, корню v₁₂ ^E -волна E₁₂, корню v_mn ^E - волна Е_тп.
Зависимость структуры поля волны от угла φ определяется индексом т. Поперечное сечение волновода можно условно разделить на т секторов с одинаковой структурой поля в каждом секторе: поле волны периодично по углу φ с периодом 2π/т. Индекс m, таким образом, равен числу периодов структуры поля волны, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что структура поля волны обладает осевой симметрией (не зависит от угла φ).
На распределение составляющих векторов поля вдоль радиуса в интервале [0, а] влияют оба индекса m и n. При этом т определяет порядок функции Бесселя, а n - число вариаций составляющих векторов поля при изменении r от 0 до а: при n=1 составляющие векторов поля не изменяют знак (одна вариация), при n - 2 они один раз изменяют знак (две вариации) и т.д.
Каждому типу волны соответствует своя критическая длина волны, связанная с постоянной соотношением (6). В рассматриваемом случае
. (9)
Несколько первых корней функций Бесселя v_mn^E в порядке их возрастания и соответствующие критические длины волн, рассчитанные по формуле (9), приведены в табл.1. Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E₀₁.
Таблица 1

Тип волны	E01	E11	E21	E02	E31	E12
	2,405	3,832	5,135	5,520	6,379	7,016
	2,613	1,640	1,223	1,138	0,985	0,895

Фазовая скорость, скорость распространения энергии, длина волны в волноводе и характеристическое сопротивление рассчитываются по известным формулам
. На рис. 10.15 показана структура поля волны E₀₁.

Рис.20

В случае Η-волн функция w = Н_тz (r, φ, z), а поперечные составляющие векторов поля выражаются через H_тz. Вводя обозначение ВС = H_0z, получаем

(10а)
где
(106)
Все сказанное о постоянных m, E_0z и φ₀ в полной мере относится и к постоянным т, H_0z и φ₀
Для определения поперечного волнового числа воспользуемся граничным условием = 0. Подставляя в это равенство приходим к уравнению
. (11)
Обозначая корни уравнения (11) через v_mn^H (см. рис. 20), находим, что
. (12)
Как видно, в круглом волноводе возможно существование Н-волн различной структуры, которые принято обозначать Н_тn. Нумерация Н-волн аналогична нумерации волн Е_тп. Индекс т совпадает с порядком функции Бесселя, а n - с номером нуля первой производной функции Бесселя m-го порядка. Также как и в случае Ε-волн, структура поля волны Н_тп периодична по углу φ с периодом 2п/т, т.е. индекс т равен числу периодов структуры поля волны Н_тп, укладывающихся на интервале [0, 2π] изменения угла φ. Равенство нулю индекса т означает, что поле волны не зависит от угла φ. Индекс n равен числу вариаций составляющих векторов поля вдоль радиуса волновода.
Несколько первых корней v_mn^H в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн, рассчитанные по формуле
λ_κρΗmn=2πa/ v_mn^H (13)



Рис.21

2

приведены в табл. 2. Низшим типом среди не только волн Н, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из табл.1 и 2, является волна Η₁₁- Интересно отметить, что структура поля этой волны близка к структуре поля волны Η₁₀ в прямоугольном волноводе, также имеющей наибольшую критическую длину волны. На рис.10.17 показана структура поля волны Η₀₁.

Параметры Н-волн β, ν_φ, ν_э и Λ вычисляются по известным формулам.