Тема: Уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность. Изохронность. Энергетические отношения для осциллятора (вибратора). Понятия связанных осцилляторов. Принудительные колебания

Гармонические колебания

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата (смещение) тела изменяется со временем по закону косинуса или синуса и описывается формулами:
x=A⋅sin(ω⋅t+φ0) или x=A⋅cos(ω⋅t+φ0).
Зависимость координаты от времени x(t) называется кинематическим законом гармонического колебания (законом движения).
Графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой (или синусоидой).
Пусть тело совершает гармонические колебания по закону x=A⋅cosω⋅t (φ₀ = 0). На рисунке 2, а представлен график зависимости координатыx от времени t.

• 
  
  

а

• 
  
  

б

• 
  
  

в
Рис. 2
Выясним, как изменяется проекция скорости колеблющейся точки со временем. Для этого найдем производную по времени от закона движения:
υx=x′=(A⋅cosω⋅t)′=−ω⋅A⋅sinω⋅t=ω⋅A⋅cos(ω⋅t+π2),
где ω⋅A=υxmax — амплитуда проекции скорости на ось x.
Эта формула показывает, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на ось x изменяется тоже по гармоническому закону с той же частотой, с другой амплитудой и опережает по фазе смешение на π/2 (рис. 2, б).
Для выяснения зависимости ускорения a_x(t) найдем производную по времени от проекции скорости:
ax=υ′x=x′′=(A⋅cosω⋅t)′′=(−ω⋅A⋅sinω⋅t)′= =−ω2⋅A⋅cosω⋅t=ω2⋅A⋅cos(ω⋅t+π), (1)
где ω2⋅A=axmax — амплитуда проекции ускорения на ось x.
При гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на π (рис. 2, в).
Аналогично можно построить графики зависимостей x(t), υ_x(t) и a_x(t), если x=A⋅sinω⋅t (φ₀ = 0).
Учитывая, что A⋅cosω⋅t=x, из уравнения (1) для ускорения можно записать
ax=−ω2⋅x,
т.е. при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, ускорение направлено в сторону, противоположную смещению. Данное соотношение можно переписать в виде
ax+ω2⋅x=0.
Последнее равенство называют уравнением гармонических колебаний.
Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний — уравнением гармонического осциллятора

Список литературы
1. Трофимова В.И. Курс физики: Учеб. Пособие для вузов.5-е изд., стер. – М.: Высш. Шк., 1998. – 542 с.
2. Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб пособие. Т. 1
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru