Tema: Vektor keńislik túsinigi Jobasi I. Kirisiw. II. Tiykarǵi bólim

Tiykarǵi bólim.
Kenislikte vektor tusinigi tegisliktegi siyaqli kirgiziledi. Kenisliktegi vektorlarǵa baylanish tiykargi tusinikler: vektordin uzinligi (modulı ), vektor bolıp tabıladı bagiti, vektorlardin tenlligi tegisliktegi siyaqli tariyplenedi.
Basi A (x1; y1; z1) noqatinda da aqiri B (x2; y2; z2,) noqatinda bolǵan vektordiri koordinataları dep a1=x2-x1, a2=z2-z1sanlarina aytıladı.Vektorlardin tegisliktegige uqsas bir Katar qasiyetleri de bar, biz alardı dálillewsiz keltiremiz. Tegisliktegi siyaqli, teri vektorlardin saykes koordinataları de teri baladı. da kerisinshe, saykes koordinataları teni bolǵan vektorlar 62 ara teri baladı. Bul, vektordı onini koordinataları arqali arilatiwga tiykar baladı. vektor» lar AB yamasa qısqasha tarizde belgilenedi. Vektor koordinatalarsız 48 (yamasa qısqasha 7) turinde de belgilene- di. Bunda, vektor bolıp tabıladı basi birinshi orinda, al aqiri eginwi orinda jaziladi. Koordinataları nollerden ibarat bolǵan vektor nollıq vektor dep ataladı. da T (0;0;0) yamasa O'turinde belgilenedi da da bul vektordan bagiti bolmaydi. EgerO koordinata basiham a, a, hama, sanlar 4 noqatinini koordinataları, yagniy A (a1; a2; a3,) bolsa, bul sanlar 04 vektorinini de koordinataları baladı. Lekin, koordinatalar kerisliginde basi noqatinda, aqin P (c1+a1; c2+a2; c3+a3) noqatinda bolǵan KP vektorı de usi koordinatalar menen aflatiladi: Natiyjede, vektordı koordinatalar kehisliginde qalcgen noqatqa qoyilgan etip siwretlew múmkin. Geometriyada biz usinday erkin vektorlar menen shugillanamiz. Al, fizikada, adette, vektorlar bazi bir noqatqa qoyilgan baladı. Maselen F kushi prujinanin qaysı noqatima qoyilgani menen ahmiyetli bolsaplanadi. i uzinligi dep oni sin langan kesi uzınıg joyiladi vektordin uzinligi turinde anlatiladi. Vektorın uzınlıǵı onin koordinataları arqali 12152, hám, formula menen arilatiladi. A (2;7;3), V (1; 0; 3), S (—3; - 4; 5) da D2; 3; -1) noqatlari berilgen. BU, DC, AD, AD da BD vektorlardan qaysıları? Sheshiliwi: Ten vektorlardin saykes koordinataları teri baladı. Sanın. ushin vektorlardini koordinatalarin tabamiz: AB=(1—2, 0—7, 3 - (—3)) = (—1,-7, 6 ); RS = (-3-(—2),- 4—3, 5 - (—1)) = (—1, 4, 6 ). Kenisliktegi vektorlar vistide iameller vektorlar iistinde ameller. vektorlardi qosiw, sanga kobeytiw da skalyar kobeytiw amelleri tegisliktegi siyaqli anıqlanadıvektorlardiri qosindisi dep vektorina aytıladı.
Sonday-aq, korsetilgen orıs jaziwshisi Krilov timsalinini qaharmanlari ne sebepten arbani orninan qozgalta almay atirganligin sezgen bolsamiz kerek. Nollik vektorlar - vektorlar berilgen bolsin. a da b5 vektorlar birdey yamasa qarama-qarsi bagitlangan bolsa, alar kollinear vektorlar dep ataladı 1-qasiyeti. a da b vektorlar ushin a — 15 (4 #0) tenligi orinli o alar 6 z ara kollinear baladı da kerisinshe. Eger 1» 0 bolsa, a da B bagitlangan baladı. Vektorlar z ara kollinear sa, 6 larnin koordinataları 6 z ara proporcional baladı: 2-masele. Basr A (1; 1; 1) noqatta da aqiri Oxy tegisligindegi B noqatta bolǵan da a (1; 2; 3) vektorina kollinear vektordı tabin. Sheshiliwi: B noqattin koordinataları B (x; y; z) bolsin. B noqat Oxy tegisliginde jatqani ushin 2—0. Opda AV (x— 1; ol 1; —1) Botaf. Shárt boyinsha, AV (x— I;y-—1;-—1) da a (1, 2, 3) vektorları kollinear. Demek, alardin koordinataları 6 z ara proporcional baladı. Bunnan ka = = = = proporciyalarin payda etemiz. 2 Alardan x — 5 x =1 ekenligin tabamiz. Onda (5 2 a) baladı. IJ Bir tegislikte yamasa parallel tegisliklerde jatiwshi vektorlar kompla- yar vektorlar dep ataladı (27-suwret). e DI a (150; 0), 25 (0; 1; 0) vat 25 (0; 0; 1) vektorlar ortlar dep ataladı (28-suwret). iqtiyarli a (a; a,; a,) bagitina qarama-qarsi baladı.Bir tuwrı sızıqta yamasa parallel tuwrı sızıqlarda jatiwshi 𝑎 hám 𝑏 vektorlar kollinear vektorlar dep ataladı.
. ∆𝐴 𝐵𝐶 den 𝐴1𝐵1 = 𝐴𝐶 = 𝑃𝑟 𝑂𝑋 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 𝑐 𝑜𝑠𝛼 = 𝑎𝑥, 𝐴2𝐵2 = 𝐵𝐶 = 𝑃𝑟 𝑂𝑌 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 𝑠 𝑖𝑛𝛼 = 𝑎𝑦, Bul jerde 𝑎𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑎𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1. Bir jup (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) sanǵa 𝐴𝐵 vektordıń koordinataları dep ataladı. Sonday eken, 𝑂 𝑥𝑦 tegislikte berilgen hár qanday nolmas vector óziniń 𝑎𝑥 𝑣𝑎 𝑎𝑦 koordinataları arqalı tolıq anıqlanadı hám onı 𝐴𝐵 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) yamasa 𝑎 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) kóriniste jazıladı. 𝐴𝐵 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) koordinataları menen berilgen vektor uzınlıǵı bul 𝑑=𝐴𝐵= 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 = (𝑥2−𝑥1) 2 + (𝑦2−𝑦1) 2 formuladan anıqlanadı. 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎𝑥 𝐴𝐵 = 𝑥2−𝑥1 𝑑 hám cos (90° − 𝛼) = 𝑎𝑦 𝐴𝐵 = 𝑦2−𝑦1 𝑑 lar 𝐴𝐵 vektordıń jóneltiriwshi kosinuslari dep ataladı.Bul jerde 𝑐𝑜𝑠2𝛼+𝑠𝑖𝑛 2𝛼 = 1 ga teń. 1-mısal. A (1; 3) hám B (4; 7) noqatlar berilgen. 𝐴𝐵 vektordı koordinataları, modulı (uzınlıǵı ) jáne onıń jóneltiriwshi kosinuslarini tabıń. Sheshiw. 𝑥1 = 1 𝑦1 = 3; 𝑥2 = 4 𝑦2=7,
1) 𝑎𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 4 − 1 = 3, 𝑎𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 = 7 − 3 = 4 𝐴𝐵 (3; 4) ;
2) 𝑑 = 𝐴𝐵 = 32 + 42 = 25 = 5;
3) 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑎𝑥 𝐴𝐵 = 35 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑎𝑦 𝐴𝐵 = 4
𝑂𝑥 hám 𝑂𝑦 koordinata oqlarına qoyılǵan 𝑖 hám 𝑗 birlik vektorlarǵa ortlar dep ataladı. 𝐴𝐵 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) yamasa 𝑎 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) vektor ortlar járdeminde bul 𝑎 = 𝑎𝑥 𝑖 + 𝑎𝑦 𝑗 kóriniste jazıladı jáne onı 𝑎 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦 ) vektordı ortlar boyınsha yoyilmasi dep ataladı. Eger 𝐴𝐵 vektor bası 𝐴 (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) hám aqırı 𝐵 (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) noqatlarda bolǵan keńislik berilgen bolsa, ol halda bul vektordı koordinata oqları daǵı proyektsiyalari uyqas túrde 𝑎𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, 𝑎𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1, 𝑎𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1 boladı. Bul halda 𝐴𝐵 vektor 𝐴𝐵 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) yamasa 𝑎 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) kóriniste jazıladı. 𝐴𝐵 vektor uzınlıǵı 𝑑 = 𝐴𝐵 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2 (2) formuladan anıqlanadı. Keńislik berilgen 𝐴𝐵 vektordı koordinata oqları menen ónim etken múyeshlerin uyqas túrde 𝛼, 𝛽 hám 𝛾 lar arqalı belgilenedi. 𝐴𝐵 vektordı jóneltiriwshi kosinuslari uyqas túrde bul formulalardan tabıladı:


Bul jerde 𝑐 𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠 𝑖𝑛2𝛼 + 𝑠 𝑖𝑛2𝛾 = 1 ga teń vektorlar ústinde sızıqlı ámeller. Aytaylik 𝑎 (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) hám 𝑏 (𝑏𝑥, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧) vektorlar hám 𝑚≠0 san berilgen bolsın.
1. Qosıw hám ayırıw. 𝑎 ± 𝑏 = 𝑐 (𝑎𝑥 ±𝑏𝑥, 𝑎𝑦 ±𝑏𝑦, 𝑎𝑧 ± 𝑏𝑧)
2. vektordı sanǵa kóbeytiw. 𝑚 𝑎 = (𝑚 𝑎𝑥, 𝑚 𝑎𝑦, 𝑚 𝑎𝑧)
𝑐 = 𝑎 + 𝑏

𝑑 = 𝑎 − 𝑏
Eki vektordıń skalyar kóbeymesi jáne onıń ózgeshelikleri. 𝑎 hám 𝑏 vektorlar uzınlıǵın bul vektorlar arasındaǵı múyeshniń kosinusiga kóbeymesin 𝑎 hám 𝑏 vektorlardıń skalyar kóbeymesi dep ataladı. Yaǵnıy 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cosα
1. 𝑎 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 𝑜𝑠0 ° = 𝑎 2 yamasa 𝑎 2 = 𝑎 2 ;
2. Eger 𝑎 = 0, yamasa 𝑏 = 0, yamasa 𝑎 ⊥𝑏 bolsa, 𝑎 ∙ 𝑏 = 0 boladı.
3. 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎
4. 𝑎 ( 𝑏 + 𝑐 ) = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐
5. 𝑚 ózgermeytuǵın bolsa, (𝑚 𝑎 ) ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ (𝑚 𝑏 ) =m (𝑎 ∙ 𝑏 ) 6.Ortlarniń skalyar kóbeymesi 𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1, 𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑖 ∙ 𝑘 = 𝑗 ∙ 𝑘 =0 7. Eger 𝑎 ( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ), 𝑏 ( 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ) yamasa 𝑎 = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1𝑘, 𝑏 = 𝑥2𝑖 + 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 bolsa, ol halda 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 Eki vektor arasındaǵı múyesh skalyar kóbeytpediń tariypidan yaǵnıy 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cosα ⟹ cosα = 𝑎∙b (𝑎 ;𝑏) kelip shıǵadı. (6 ) formulanı 𝑎 hám 𝑏 vektor arasındaǵı mmúyeshni tabıw formulası dep ataladı. Eger 𝑎 hám 𝑏 vektorlar koordinataları menen berilgen bolsa, yaǵnıy 𝑎 ( 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ) hám 𝑏 ( 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ) ol halda bul vektorlar arasındaǵı múyesh cosα = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 𝑧1𝑧2 𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12 ∙ 𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22 formuladan anıqlanadı.
7. Eki vektordıń parallellik hám perpendikulayarlik shárti. Eger 𝑎 ║ 𝑏 bolsa, ol halda 𝑎 = m𝑏 yamasa 𝑎𝑥 𝑏𝑥 = 𝑎𝑦 𝑏𝑦 = 𝑎𝑧 𝑏𝑧 = 𝑚 formula orınlı boladı. Eger 𝑎 ⊥𝑏 bolsa, ol halda 𝜑 = 90° hám cos𝜑 = 0 ga teń boladı. Eki hám vektordıń skalyar kóbeymesi dep, bul vektorlar uzınlıqlarınıń olar arasındaǵı múyesh kosinusi menen kóbeymesine teń bolǵan sanǵa aytıladı hám yamasa menen belgilenedi. Tariypge kóre skalyar kóbeytpe túsiniginiń dáregi mexanika bolıp tabıladı. Rasında, eger azat vektor qoyılǵan noqat vektordıń basınan aqırına siljuvchi kúshnı suwretlasa, bul kúsh atqarǵan jumıs bul teńlik menen anıqlanadı. Eger kóbeytpeni kóriniste jazıp, ekenin názerge alsaq, ni payda ekenligin itibarǵa alsaq, ni payda etemiz. Sonday eken, vektorlar tártiplengen ushlıgining aralas kóbeymesi dep, vektor menen vektordıń skalyar kóbeymesiga teng sanǵa aytıladı va yoki kabi belgilenedi.Aralas kóbeytpediń muǵdarı kózqarastan mánisin tekseremiz. vektorlar komplanar bolmaǵan vektorlar bolsın. deb belgilesak, vektor muǵdarı va vektorlardan ysalgan parallelogram júzine teń bolǵanı ushın skalyar kóbeytpe tariyipge kóre, biraq modulı, yaǵniy san vektorlarǵa jasalǵan parallelepipedning biyikligin ańlatadı. Aralas kóbeytpediń absolyut ma`nisi sol vektorlarǵa ysalgan parallelepiped kólemine teń, y'ni . Aralas kóbeytpediń birpara ózgesheliklerin keltiremiz. Kóbeytpede eki qońsılas vektordıń orınların almashtirilsa, aralas kóbeytpening ishorasi teriske almasadı, y'ni tómendegi teńlikler orınlı. Bul teńliklerdiń hár biri tikkeley aralas kóbeytpe tariypi hám geometriyalıq mánisinden paydalanıp tastıyıqlanadı. Vektorlardıń orınların “dóńgelek siklda” almastırılsa, aralas kóbeytpe óz belgisin ózgertirmeydi, y'ni bul teńlikler orınlı. Haqıyqattan da, bul halda payda bolatuǵın vektorlar tiykarǵı sistema vektorları menen hámme waqıt birdey tártiplengen boladı. Bunda joqarıdaǵı teńliklerdiń kelip shıǵıwın kóriw qıyın emes. Eger vektorlardan qálegen ekewi bir-birine teń yamasa parallel (kollinear) bolsa, olardıń aralas kóbeymesi nolge teń boladı.Eger vektorlar óz-ara komplanar vektorlar bolsa, olardıń aralas kóbeymesi nolge teń. Endi aralas kóbeytpeni vektorlardıń koordinataları arqalı ańlatıwǵa ótemiz. Dekart koordinatalar sistemasına salıstırǵanda vektorlardıń yoyilmasi berilgen bolsın: Ol halda Sonıń ushin Sonday etip, úsh vektordıń aralas kóbeymesi úshinshi tártipli determinant arqalı ańlatpası bul kóriniste boladı: Formuladan kelip shıǵıs birpara nátiyjelerdi keltiremiz.Formulalar orınlı. Basqasha aytqanda, eki vektordıń skalyar kóbeymesi olardan birewiniń uzınlıǵı muǵdarı menen ikinchisining sol vektor baǵdarı daǵı proeksiysi kóbeymesine teń. Eger eki vektor arasındaǵı múyesh ga teń bolsa, olar ortogonal vektorlar dep ataladı.Skalyar kóbeytpediń bir qatar eń ápiwayı xosalarini keltiremiz.Eger bolsa, ol halda hám vektorlar ortogonal boladı.Hár qanday vektordıń sol vektordıń ózine skalyar kóbeymesi bul vektordıń uzınlıǵı kvadratına teń, yaǵniy. Skalyar kóbeytpe orın almastırıw nızamına boysunadı, y'ni qálegen eki hám vektorlar ushın munasábet orınlı.Skalyar kóbeytpe skalyar kópaytuvchiga salıstırǵanda gruppalaw nızamına boysunadı, yaǵnıy munasábetler orınlı.Skalyar kóbeytpe qosıwǵa salıstırǵanda bólistiriw nızamına boysunadı, yaǵniy qálegen ush, hám vektorlar ushın bul teńlik orınlı. Vektor salıstırǵanda jańa matematikalıq túsinik esaplanadı. «vektor» termininiń ózi 1845 jılda vilyam Rouen Gamilton tárepinen kiritilgen. vektor túsinigine san ma`nisi hám baǵdarı menen xarakterleniwshi ob'ektler menen jumıs kórilgeninde dus kelinedi. Bunday ob'ektlerge kúsh, tezlik, tezleniw sıyaqlı fizikalıq shamalar mısal boladı. vektor matematikanıń túrli bólimlerinde, mısalı, elementar, analitik hám differensial geometriya bólimlerinde qollanıladı. vektorlı algebra fizika hám mexanikanig túrli bólimlerine, kristallografiyaga, geodeziyaǵa qollanıladı. vektorlarsız tekǵana klassik matematika, bálki basqa kóplegen pánlerdi oyda sawlelendiriw etip bolmaydı. vektorlar ústinde qosıw hám sanǵa kóbeytiw, ámellerin, vektorlardıń skalyar, vektor hám aralas kóbeytpelerin, vektorlardı baziz keńislik almastırıwdı, vektorlardı proyeksiyalawdı hám sol sıyaqlı máselelerdi úyreniw vektorlı algebraning predmeti esaplanadı. Proyeksiya sózi latınsha «projectiv» sózinen alınǵan bolıp, «tasvir» yamasa «soya» degen mánisti ańlatadı. Qandayda bir A noqattıń ol o'qdagi proyeksiyası dep, sol noqattan ol o'qqa túsirilgen perpendikulyardıń A1 tiykarına aytıladı hám tómendegishe jazıladı. Vektorlardı qosıw, ayırıw ámelleri orta mektep programmasınan málim bolǵan úshmúyeshlik hám parallelogramm qaǵıydalarına tiykarlanıp ámelge asıriladı. Proyeksiya sózi latınsha «projectiv» sózinen alınǵan bolıp, «tasvir» yamasa «soya» degen mánisti ańlatadı. Qandayda bir A noqattıń ol o'qdagi proyeksiyası dep, sol noqattan ol o'qqa túsirilgen perpendikulyardıń A1 tiykarına aytıladı hám tómendegishe jazıladı.Vektor — tuwrı sızıqtıń jóneliske iye bolǵan kesindisi. Bul kesindi úshlerinen biri vektordıń bası, ekinshisi bolsa aqırı boladı. Bası menen aqırı ústpe-úst túsken vektor nol vektor dep ataladı. vektor, ádetde, qara háripler yamasa ústine strelka qoyılǵan ápiwayı háripler menen kórsetiledi.