Teng kuchli tenglamalar va tengsizliklar xaqida teoremalar reja: Tenglama nima?

Tenglamalarning teng kuchliligi[tahrir | manbasini tahrirlash]
Bir xil ildizlarga ega tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Ildizga ega boʻlmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi. Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga teng kuchli boʻlgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga oʻtishini bilish muhimdir.
Teorema: Agar tenglamada birorta qoʻshiluvchini tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga ishorasini oʻzgartirib oʻtkazilsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.
Masalan,
{\displaystyle x^{2}+2=3x\,}
tenglama
{\displaystyle x^{2}+2-3x=0\,}
ga teng kuchlidir.
Teorema: Agar tenglamaning har ikkala tomonini noldan farqli bir songa koʻpaytirilsa yoki boʻlinsa, berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil boʻladi.
Masalan,
{\displaystyle {\frac {x^{2}+1}{3}}\ =2x}
tenglama
{\displaystyle x^{2}+1=6x\,}
tenglamaga teng kuchli (birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 3 ga koʻpaytirildi).

Tenglamalarning asosiy xossalari[tahrir | manbasini tahrirlash]

Tenglama tarkibidagi algebraik ifodalar ustida turli amallar bajarish mumkin. Bunda tenglamaning ildizlari oʻzgarmaydi. Keng tarqalgan amallar quyidagilardir:

1. 
   Tenglamaning har ikki tomoniga aynan bir xil haqiqiy sonni qoʻshish mumkin.
   
2. 
   Tenglamaning har ikki tomonidan aynan bir xil haqiqiy sonni ayirish mumkin.
   
3. 
   Tenglamaning har ikki tomonini 0 dan boshqa har qanday haqiqiy songa boʻlish mumkin.
   
4. 
   Tenglamaning har ikki tomonini har qanday haqiqiy songa koʻpaytirish mumkin.
   
5. 
   Tenglamaning istagan tomonida qavslarni ochish mumkin.
   
6. 
   Tenglamaning istagan qismida oʻxshash qoʻshiluvchilarni keltirish mumkin.
   
7. 
   Tenglamaning istagan aʼzosini bir qismdan ikkinchi qismga qarama-qarshi belgi bilan olib oʻtish mumkin.
   
8. 
   Ba'zi hollarda har ikki tomonga ayrim bir funksiyalarni qoʻshish mumkin. Bunday amal bajarayotganda tenglama ildizlari yoʻqotilmasligiga e'tibor berish kerak. Masalan, {\displaystyle yx=x}  tenglamasida ikki guruh yechim bor: {\displaystyle y=1}  (har qanday x bilan) va {\displaystyle x=0}  (har qanday y bilan). Ikkala tomonni ikkinchi darajaga koʻtarish (yaʼni, ikki tomonga {\displaystyle f(s)=s^{2}}  funksiyasini kiritish) berilgan tenglamani {\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}}  qilib oʻzgartiradi. Bu yangi tenglamada eski tenglamaning barcha ildizlari bilan birga yangi ildizlar ham bor: {\displaystyle y=-1}  va x har qanaqa son.