Teng kuchli tenglamalar va tengsizliklar xaqida teoremalar reja: Tenglama nima?

Asosiy maqola: Parametrli tenglama
Parametrli tenglama deb biron-bir bogʻlanishni parametrlar yordamida ifodalagan tenglamaga aytiladi. Parametrli tenglamaga sodda misol sifatida kinematikadan vaqt parametri bilan harakatdagi jismning joyini, tezlanishini va boshqa xususiyatlarini ifodalovchi tenglamani keltirish mumkin. Abstrakt maʼnoda parametrli tenglama deb tenglamalar toʻplamini aytish mumkin.

Differensial tenglamalar[tahrir | manbasini tahrirlash]

Asosiy maqola: Differensial tenglama
Differensial tenglama nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalardir. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, y, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir.

Integral tenglamalar[tahrir | manbasini tahrirlash]

Asosiy maqola: Integral tenglama
Integral tenglama nomaʼlum funksiya integral belgisi ostida boʻlgan tenglamadir. Integral tenglamalar bilan differensial tenglamalar chambarchas bogʻlangan boʻlib, koʻp hollarda ularni bir-biri bilan almashtirish mumkin.
. Tenglamalar sistemasining yechimi deb shunday (x0;.y0) sonlar juftiga aytiladiki, ularni sistemadagi nom a’lumlar o ‘rniga qo‘yilsa, to ‘g‘ri sonli tengliklar hosil bo'ladi. 5.2. Tenglam alar sistem asini yechish — bu uning b archa yechim ini topish yoki ularning m avjud em asligini aniqlash demakdir. 5.3. Agar tenglamalar sistemasi hech boMmaganda bitta yechimga ega bo‘lsa, bunday sistema birgalikdagi sistema deyiladi. Agar u 5-§. Birinchi darajali ik k i n o m a ’lumli tenglam alar sistem a si birorta ham yechimga ega bolm asa, birgalikda bo ‘Imagan sistema deyiladi. 5.4. A gar ikkita tenglama sistemasidan birining yechimlari to'plam i ikkinchisining ham yechimlari to ‘plami b o isa, u holda bunday sistemalar teng kuchli sistema deyiladi. 5.5. Ikki nom a’lumli tenglam alar sistemasini grafik usulda yechish har ikkala tenglama grafiklarining umumiy nuqtalarining koordinatalarini topish demakdir. 5.6. M a’lumki, to ‘g‘ri chiziqlar tekislikda biror nuqtada kesishishi, yoki ular parallel bolishi, yoki ustma-ust tushishi mumkin. Shunga ko‘ra ikki nom a’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi: a) yagona yechimga ega boiadi; b) yechimga ega bolm aydi; d) cheksiz ko‘p yechimga ega boiadi. 5.7. Ikki nom a’lumli chiziqli tenglamalar sistemasini yechmasdan, ular yagona yechimga egam i-yo‘qmi yoki cheksiz k o ‘p yechimga egami, degan savolga javob berish mumkin. a \ 1) Agar — * b o isa, ya’ni x va у nom a’lumlarning koeffitsiyentlari proporsional b o lm a sa , u holda sistem a yagona yechim ga ega. Bu yechim ikki to ‘g ‘ri chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalaridir
Oddiy differensial tenglamalar uchun sonli usullar topish uchun ishlatiladigan usullardir raqamli echimlariga yaqinlashishlar oddiy differentsial tenglamalar (ODE). Ulardan foydalanish "nomi bilan ham tanilganraqamli integratsiya ", garchi bu atama ham hisoblashga tegishli bo'lishi mumkin integrallar.

Ko'pgina differentsial tenglamalarni echish mumkin emas ramziy hisoblash ("tahlil"). Amaliy maqsadlar uchun, masalan, muhandislik singari, ko'pincha echimga raqamli yaqinlashish etarli bo'ladi. The algoritmlar bu erda o'rganilgan bunday taxminiy hisoblash uchun foydalanish mumkin. Shu bilan bir qatorda usul - dan texnikani qo'llashdir hisob-kitob olish uchun ketma-ket kengayish eritmaning.

Oddiy differentsial tenglamalar ko'plab ilmiy fanlarda, shu jumladan fizika, kimyo, biologiya va iqtisodiyot.[1] Bundan tashqari, ba'zi usullar sonli qisman differentsial tenglamalar aylantirish qisman differentsial tenglama keyin uni hal qilish kerak bo'lgan oddiy differentsial tenglamaga aylanadi

Birinchi tartibli differentsial tenglama an Dastlabki qiymat muammosi (IVP) shakl,[2]
qayerda funktsiya va dastlabki shart berilgan vektor. Birinchi tartib ning faqat birinchi hosilasi degan ma'noni anglatadi y tenglamada paydo bo'ladi va undan yuqori hosilalar mavjud emas.

Yuqori darajadagi tizimlar uchun umumiylikni yo'qotmasdan, biz o'zimizni cheklaymiz birinchi tartib differentsial tenglamalar, chunki yuqori darajadagi ODE qo'shimcha o'zgaruvchilarni kiritish orqali kattaroq birinchi darajali tenglamalar tizimiga aylantirilishi mumkin. Masalan, ikkinchi darajali tenglama y'' = −y ikkita birinchi darajali tenglama sifatida qayta yozilishi mumkin: y' = z va z' = −y.

Ushbu bo'limda biz IVP uchun raqamli usullarni tavsiflaymiz va shuni ta'kidlaymiz chegara muammolari (BVP) uchun boshqa vositalar to'plami kerak. BVP-da qiymatlar yoki echimning tarkibiy qismlari aniqlanadi y bir nechta nuqtada. Shu sababli, BVP-larni hal qilish uchun turli xil usullardan foydalanish kerak. Masalan, tortishish usuli (va uning variantlari) yoki shunga o'xshash global usullar cheklangan farqlar,[3] Galerkin usullari,[4] yoki kollokatsiya usullari muammolar sinfiga mos keladi.

The Pikard-Lindelef teoremasi taqdim etilgan noyob echim borligini ta'kidlaydi f bu Lipschits uzluksiz.Entsiklopediya site:ewikiuz.top

Birinchi darajali IVPlarni hal qilishning raqamli usullari ko'pincha ikkita katta toifadan biriga kiradi:[5] chiziqli ko'p bosqichli usullar, yoki Runge-Kutta usullari. Keyinchalik bo'linishni usullarni aniq va yashirin usullarga bo'lish orqali amalga oshirish mumkin. Masalan, yashirin chiziqli ko'p bosqichli usullar o'z ichiga oladi Adams-Moulton usullari va orqaga qarab farqlash usullari (BDF), aksincha yashirin Runge-Kutta usullari[6] diagonali yashirin Runge – Kutta (DIRK),[7][8] faqat diagonali yashirin Runge – Kutta (SDIRK),[9] va Gauss-Radau[10] (asoslangan Gauss kvadrati[11]) raqamli usullar. Dan aniq misollar chiziqli ko'p bosqichli oila o'z ichiga oladi Adams-Bashforth usullari va pastki diagonali har qanday Runge-Kutta usuli Qassoblar jadvali bu aniq. Bosh barmoqning erkin qoidasi shuni talab qiladi qattiq differentsial tenglamalar yashirin sxemalardan foydalanishni talab qiladi, qattiq bo'lmagan masalalarni esa aniq sxemalar yordamida samaraliroq hal qilish mumkin.

Deb nomlangan umumiy chiziqli usullar (GLM) - bu yuqoridagi ikkita katta metodlar sinfining umumlashtirilishi.[12]Entsiklopediya site:ewikiuz.top

Egri chiziqning istalgan nuqtasidan chiziq bo'ylab qisqa masofani bosib, egri chiziqdagi yaqin nuqtani taxminiyligini topishingiz mumkin. teginish egri chiziqqa.

Differentsial tenglamadan (1) boshlab, hosilani almashtiramiz y' tomonidan cheklangan farq taxminiy

bu qayta tashkil etilganda quyidagi formulani beradi
va (1) dan foydalanish quyidagilarni beradi:
Ushbu formula odatda quyidagi tarzda qo'llaniladi. Biz qadam o'lchamini tanlaymiz hva biz ketma-ketlikni tuzamiz t0, t1 = t0 + h, t2 = t0 + 2h,… Biz buni belgilaymiz yn aniq echimning raqamli bahosi y(tn). (3) tomonidan motivatsiya qilingan holda, biz ushbu taxminlarni quyidagicha hisoblaymiz rekursiv sxema
Bu Eyler usuli (yoki oldinga Eyler usuli bilan farqli o'laroq orqaga qarab Eyler usuli, quyida tavsiflash uchun). Usul nomi bilan nomlangan Leonhard Eyler kim uni 1768 yilda tasvirlab bergan.

Eyler uslubi an-ning misoli aniq usul. Bu shuni anglatadiki, yangi qiymat yn + 1 kabi allaqachon ma'lum bo'lgan narsalar bilan belgilanadi yn.

Orqaga Eyler usuli

Qo'shimcha ma'lumotlar: Orqaga Eyler usuli
Agar (2) o'rniga, biz taxminiy qiymatdan foydalanamiz
biz olamiz orqaga qarab Eyler usuli:
Orqaga qaytgan Eyler usuli - bu yashirin usuli, ya'ni topish uchun tenglamani echishimiz kerakligini anglatadi yn+1. Biri tez-tez ishlatadi sobit nuqtali takrorlash yoki (ba'zi bir o'zgartirishlar) Nyuton-Raphson usuli bunga erishish.

Ushbu tenglamani echish uchun aniq usullarga qaraganda ko'proq vaqt sarflanadi; ushbu usulni tanlash usulini tanlashda hisobga olish kerak. (6) kabi yashirin usullarning afzalligi shundaki, ular odatda a ni hal qilish uchun barqarorroq bo'ladi qattiq tenglama, ya'ni kattaroq qadam kattaligi h foydalanish mumkin.

Birinchi tartibli eksponent integral integrator usuli
Qo'shimcha ma'lumotlar: Eksponent integral
Ko'rsatkichli integrallar yaqinda juda ko'p rivojlanishga ega bo'lgan katta darajadagi integrallarni tavsiflaydi.[13] Ular kamida 1960 yillarga tegishli.
(1) o'rnida biz differentsial tenglamani ikkala shaklda deb hisoblaymiz yoki chiziqli atamani ishlab chiqarish uchun fon holati to'g'risida mahalliy ravishda chiziqli qilingan va nochiziqli muddat .
Ko'rsatkichli integrallar (7) ga ko'paytirish orqali tuziladi va natijani vaqt oralig'ida aniq birlashtirish :
Ushbu integral tenglama aniq, ammo integralni aniqlamaydi.
Birinchi darajali eksponent integralni ushlab turish orqali amalga oshirish mumkin to'liq oraliqda doimiy:
Umumlashtirish
Eyler usuli ko'pincha etarlicha aniq emas. Aniqroq qilib aytganda, u faqat bitta tartibga ega (tushunchasi buyurtma quyida tushuntirilgan). Bu matematiklarni yuqori tartibli usullarni izlashga majbur qildi.
Imkoniyatlardan biri nafaqat ilgari hisoblangan qiymatdan foydalanish yn aniqlash uchun yn+1, ammo echimni ko'proq o'tgan qiymatlarga bog'liq qilish. Bu deb atalmish hosil beradi ko'p bosqichli usul. Ehtimol, eng sodda sakrash usuli bu ikkinchi darajali va (taxminan aytganda) ikki vaqt qiymatiga bog'liq.
Deyarli barcha amaliy ko'p bosqichli usullar oilasiga kiradi chiziqli ko'p bosqichli usullar shaklga ega bo'lgan Yana bir imkoniyat - bu intervalda ko'proq nuqtalardan foydalanish [tn,tn+1]. Bu oilaga olib keladi Runge-Kutta usullari nomi bilan nomlangan Karl Runge va Martin Kutta. Ularning to'rtinchi tartib usullaridan biri ayniqsa mashhur.Kengaytirilgan xususiyatlar
ODE ni echish uchun ushbu usullardan birini yaxshi bajarish vaqtni belgilash formulasidan ko'proq narsani talab qiladi.
Har doim bir xil qadam o'lchamidan foydalanish samarasiz, shuning uchun o'zgaruvchan qadam o'lchamlari usullari ishlab chiqilgan. Odatda, qadam kattaligi har bir qadamdagi (mahalliy) xatolik ba'zi bir bardoshlik darajasidan pastroq bo'ladigan darajada tanlanadi. Bu shuni anglatadiki, usullar ham xato ko'rsatkichi, mahalliy xatolarni taxmin qilish.
Ushbu g'oyaning kengaytmasi turli xil buyurtmalarning turli usullari orasida dinamik ravishda tanlashdir (bu a deb nomlanadi o'zgaruvchan buyurtma usuli). Asoslangan usullar Richardson ekstrapolyatsiyasi,[14] kabi Bulirsch-Stoer algoritmi,[15][16] ko'pincha turli xil buyurtmalarning turli usullarini qurish uchun ishlatiladi.
Boshqa kerakli xususiyatlarga quyidagilar kiradi:
zich chiqish: nafaqat nuqtalarda, balki butun integratsiya oralig'i uchun arzon raqamli taxminlar t0, t1, t2, ...
voqea joyi: masalan, ma'lum bir funktsiya yo'qoladigan vaqtni topish. Bu odatda a dan foydalanishni talab qiladi ildiz topish algoritmi.uchun qo'llab-quvvatlash parallel hisoblash.
vaqt, vaqtni qaytaruvchanligi bilan birlashtirish uchun foydalanilganda Muqobil usullar Ko'p usullar bu erda muhokama qilingan doiraga kirmaydi. Muqobil usullarning ayrim sinflari:
multidivativ usullar, bu nafaqat funktsiyadan foydalanadi f shuningdek, uning hosilalari.