Tenglama (14. 1) ni dan gacha integrallaymiz

Variatsion-ayirmali metodlar.
a) Rits metodi.
operator Gilbert fazosi da ushbu skalyar ko'paytma ,) bilan berilgan o’z-o’ziga qo'shma va musbat aniqlangan operator, -esa fazoda berilgan vektor bo'1sin. Ushbu funksionalning minimumi masalasi

quyidagi tenglamani yechish masalasiga ekvivalent

Tenglama ni qanoatlantiruvchi va ushbu funksionalga minimum beruvchi element yagona. bazislarga ega bo'Igan chekli o'lchovli fazolarning ketma-ketligini kiritamiz.
Rits metodining asosiy g'oyasi, funksionalga fazoda minimum beruvchi elementni topishdan iborat.
Taqribiy yechim ni quyidagicha ifodalaymiz

bu yerda -noma'lum koeffitsientlar. Ushbu ifodani funksional (1) thit formulaga qo'yib,

qu yerda

ckarligini aniqlaymiz.
Operator o’z-o’ ziga qo'shma bo'lganligi uchun, bo'ladi. funksional n ta - koeffitsientlarning funksiayasi. Hosilalar ni nolga tenglashtirib va ekanligini e'tiborga olib, larni aniqlash uchun n ta tenglamaga kelamiz

Quyidagi masalada mos keluvchi

Rits metodi bilan ayirmali sxema tuzish uchun ushbu funksiyani qaraymiz

va bazis funksiyalari sifatida

funksiyalarni olamiz, bu yerda ushbu to tugunlari

Yuqoridagilardan ko rinadiki

va o'z navbatida

Endi munosabatlar ga ifodani qo'yib

lami topamiz.
Funksiyalar va uning hosilalarining xossalaridan kelib chiqadiki, uch diagonalli matritsa bo'lib, uning faqat va elementlarigina noldan farqli.
Belgilashlar kiritsak

quyidagilarni hosil qilamiz:

Natijada ushbu tenglamalar sistemasini

quyidagi ko'rinishda yozib olamiz

(14.31)
bu yerda

ya'ni xuddi ga o'xshash formula bo'yicha hisoblanadi.
Shunday qilib, Rits metodi bilan uch nuqtali ayirmali sxema (14.30)-(14.32) tuzildi, u IIM bilan olingan sxema (14.12) bilan mos tushadi.
b) Bubnov-Galerkin metodi.
Rits metodidan farqli ravishda Bubnov-Galerkin metodi o’z-o’ziga qo'shma bo Imagan va ishorasi aniqlanmagan masalalarni yechishga ham tatbiq etiladi. Bu holda taqribiy yechim (14.20) ning koeffitsientlari xato ning barcha bazis funksiyalariga ortogonallik shartidan izlanadi:

Quyidagi o’z-o’ziga qo' shma bo'lmagan masalani qaraylik

Ayirmali to'r kiritamiz . Bu holda fazoning o'lchami ga teng bo'ladi. Bazis sifatida

funksiyani tanlaymiz, bu yerda formula ga asosan aniqlanadi.
Shart ushbu ko'rinishni oladi

bu yerda

Koeffitsientlar ta'riflar , (14.25') ga asosan, laming funksiyalari bo'lib, ular faqat da noldan farqli bo'ladi.
Agar va uchun belgilashlar dan, uchun dan foydalansak va quyidagicha belgilab olsak

tenglamalar sistemasi ni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin

Natijada quyidagi ayirmali sxemaga ega bo'lamiz:

uning koeffitsientlari , va dan aniqlanadi.
Funksiya bo'lganda, ushbu sxema Rits metodi bilan olingan sxema bilan mos tushadi.
Koeffitsientlar o’zgarmas bo'lganda, quyidagilarga ega bo'lamiz

Koordinat funksiyalari yuqoridagidek ko'rinishida tanlanganda Rits metodi va Bubnov-Galerkin metodi chekli elementlar metodi bilan mos tushadi.