Tenglama va tengsizliklar sistemasi va ularni yechish. Kramer usuli

1⁰. Agar, a yoki b larning hech bo’lmaganda biri noldan farqli bo’lsa, bu tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega, masalan, bo’lsa, bu tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda ga ixtiyoriy qiymat berib, ni topish mumkin.
2⁰. Agar, =0, bo’lsa, tenglama yechimga ega emas.
3⁰. Agar, =0, bo’lsa, tenglama va larning ixtiyoriy qiymatlari uchun aynan qanoatlantiriladi.
Umuman, sonlar jufti tekislikda biror nuqtaning koordinatasidan iborat: = . Bunday nuqtalarni tekislikda tasvirlasak, tekislikning qandaydir qism to’plami hosil bo’ladi. Bu tenglamaning grafigi deb ataladi. Masalan, tenglamaning yechimlar to’plami, ko’rinishdagi juftlar to’plamilan iborat. Uni tekislikda tasvirlasak, I va III koordinata choraklarining bissektrisasi bo’lgan to’g’ri chiziq paydo bo’ladi. Xuddi shuningdek, tenglamaning grafigi, radiusi 4 ga, markazi koordinatalar boshida bo’lgan aylanadan iborat. Agar ikki o’zgaruvchili (ikki noma’lumli) ikkita tenglamaning grafiklari bir xil bo’lsa, ular o’zaro teng kuchli tenglamalar deyiladi. Bir o’zgaruvchili tenglamalarga teng kuchli tenglamalar haqidagi teoremalar va ularning natijalari, bu yerda ham mos umumlashtirishdan so’ng o’rinli bo’ladi. Masalan, va tenglamalar haqiqiy sonlar to’plamida o’zaro teng kuchli tenglamalardir, chunki ularning grafiklari bir xil (oxirgi tenglamalarning grafigi (0,0) nuqtadan iborat).
2. Ikki o’zgaruvchili tengsizliklar
Ikki x va y o’zgaruvchi orasidagi munosabatlar F(x,y)>0 tengsizlik orqali berilishi ham mumkin. Bu yerda «>» o’rnida “ ”, “<”, “ ” munosabatlar belgilari ishlatilishi ham mumkin, masalan, , va h.k. Bunday tengsizliklar ikki o’zgaruvchili tengsizliklar deyiladi. Ikki o’zgaruvchili tengsizlikning yechimlar to’plami deb, shunday (a, b) juftlar to’plamiga aytiladiki, a ni x ning o’rniga, b ni y ning o’rniga qo’yganda, F(a,b>0) to’g’ri sonli tengsizlik hosil bo’ladi. Masalan, tengsizlik uchun (4,3) juft shu tengsizlikning yechimlar to’plamiga tegishli bo’ladi. Yechimlar to’plamidan olingan har bir (x,y) juftlikka tekislikda M(x,y) nuqtani mos qo’yish mumkin. Bunda F(x,y)>0 tengsizlik orqali berilgan tekislik nuqtalariga ega bo’lamiz. Buni berilgan tengsizlikning grafigi deb ataladi. Odatda grafik tekislikdagi sohadan iborat bo’ladi. F(x,y)>0 tengsizlikning yechimlar to’plamini tasvirlash uchun quyidagicha ish ko’riladi. Avvalo, tengsizlik belgisi tenglik belgisi orqali almashtirilib F(x,y)=0 tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq topiladi(chiziladi). Bu chiziq tekislikni bir nechta sohalarga bo’ladi. Bundan so’ng bu sohalardan bittadan nuqta olib F(x,y)>0 tengsizlik tekshiriladi. Agar bu tengsizlik shu olingan nuqtada o’rinli bo’lsa, u shu sohaning har bir nuqtasida ham o’rinli bo’ladi. Bunday sohalarni birlashtirib tengsizlikning yechimlar to’plami hosil qilinadi.