Tengsizliklarni hosila yordamida yechish. Tenglama va tengsizliklarni yechishda hosila va integraldan foydalanish 1vlk ru

2.2. Integralning monotonligi
Integralning ta'rifidan kelib chiqadiki, manfiy bo'lmagan f funktsiya uchun barcha uchun segmentda uzluksiz bo'ladi.
Teorema 1. f va g funksiyalar intervalda va hamma uchun uzluksiz bo'lsin. Keyin hamma uchun:. Bu xususiyat integralning
monotonligi deyiladi.
1-teoremadan foydalanib, tengsizlik atamasining ikkala qismini had bo'yicha integrallash orqali biz yangi tengsizliklarning butun
qatorini olishimiz mumkin. Masalan,
chunki bizda aniq tengsizlik bor. 1 teoremani o'rnatish orqali qo'llaymiz. f, g funksiyalar oraliqdagi teorema shartlarini
qanoatlantiradi. Shuning uchun, o'zboshimchalik uchun : , ya'ni. (1). Xuddi shu usulni tengsizlikka (1) qo'llasak, , yoki ni olamiz.
Bu yerdan. Xuddi shunday davom etsak, bizda ham bor
Ko'rib chiqilgan misolda dastlabki tengsizlikni tanlash qiyin emas edi. Boshqa hollarda, muammoni hal qilishdagi bu birinchi
qadam unchalik aniq emas. 1-teorema aslida asl tengsizlikni olish uchun hiyla beradi.
Tengsizlikning haqiqatini tekshirish talab qilinsin
Agar munosabat rost bo'lsa, 1-teoremaga ko'ra, tengsizlik
Yoki (2.5).
Agar tengsizlik o'rinli bo'lsa, uni (2.4) bilan a'zo bo'lib qo'shib, tengsizlikning haqiqiyligini aniqlaymiz (2.5).
Vazifa 2.4. Buning uchun isbotlang. (2.6)
(2.6) tengsizlikni quyidagicha qayta yozamiz. Oxirgi tengsizlikning chap va o'ng qismlari funksiyalari hisoblanadi. ni belgilab, (2.7)
ni olamiz. (2.7) uchun qanoatlantirilishini isbotlaylik. (2.7) tengsizlikning ikkala qismining hosilalari topilsin. Shunga ko'ra, bizda:
. Da . Haqiqatan ham, . 1-teoremani funksiyalar va uchun qo'llasak, hosil bo'lamiz. O'shandan beri
Demak, (2.6) uchun quyidagicha.
Vazifa 2.5. Buni isbotlang: .
Biz chap va o'ng qismlarning hosilalarini hisoblaymiz:
Ko'rinib turibdiki, , dan beri. O'shandan beri va uzluksiz funktsiyalar, u holda, 1-teoremaga ko'ra, biz tengsizlikka egamiz
Bular. , . Vazifa 2.5. hal qilingan.
1-teorema qat'iy bo'lmagan tengsizliklar haqiqatini aniqlashga imkon beradi. Agar qo'shimcha shartlar kerak bo'lsa, unda mavjud
bo'lgan tasdiqni kuchaytirish mumkin.