Теорема Душа Чигера и Громолла Принцип Доказательство и разъяснение фразы

Риманово многообразие, или риманово пространство (M,g), — это (вещественное) гладкое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g—метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Другими словами, риманово многообразие — это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством
связное пространство является топологическим пространством, которое не может быть представлено в виде объединения двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств
Полностью выпуклый.Подмножество K риманова многообразия M называется вполне выпуклым, если для любых двух точек в K любая геодезическая, соединяющая их, целиком лежит в K,
Вполне геодезическим подмногообразием называется такое подмногообразие, что все геодезические в подмногообразии являются также геодезическими окружающего многообразия.
Геодезической обычно представляет собой кривую, представляющая в каком -то смысле кратчайший путь (дуга) между двумя точками на поверхности или, в более общем смысле, в римановом многообразии. Термин также имеет значение в любом дифференцируемое многообразие сосвязью. Это обобщение понятия «прямая линия» на более общие условия.
В математике подмногообразие многообразия M— это подмножество S,которое само имеет структуру многообразия и для которого отображение включения S→M удовлетворяет определенным свойствам.Существуют различные типы подмногообразий в зависимости от того, какие именно свойства требуются.Разные авторы часто дают разные определения
Учитывая два многообразия M а также N ,дифференцируемое отображение называется диффеоморфизмом,если он биекция и обратная ей также дифференцируема.Если эти функции r раз непрерывно дифференцируемые,f называется -диффеоморфизм.
Два коллектора M а также N являются диффеоморфен(обычно обозначается ),если существует диффеоморфизм f из M к N.Они есть -диффеоморфен,если существует r раз непрерывно дифференцируемое биективное отображение между ними, обратное также r раз непрерывно дифференцируемые.
В римановой геометрии, теорема ядра касается структуры пространствo с положительной кривизной, уменьшая его в значительной степени к изучению компактного случая . Термин «душа» является намеком на «душу оружия», создавая образ структуры, «изогнутой внутрь себя», прoстирающейся в определенном направлении «как цилиндр»
Примеры
Как непосредственно видно из определения, каждое компактное многообразие является собственной душой.По этой причине теорема часто формулируется только для некомпактных многообразий. В качестве очень простого примера возьмем точка M как евклидово пространство Rn Секционная кривизна везде равна 0, и любая точка M может служить душой M.

Теперь возьмем параболоид M= {(x,y,z) :z=x+y}, с метрикой g, являющейся обычным евклидовым расстоянием, полученным из вложения параболоида в евклидово пространство R(3).При этом секционная кривизна везде положительна,хотя и не постоянна.Происхождение(0, 0, 0)—это душа М.Не каждая точка x изM является душой M, поскольку могут быть геодезические петли, основанные на x, и в этом случае не будет полностью выпуклым.

Example of the non-uniqueness of souls:Можно также рассмотреть бесконечный цилиндр M={(x,y,z): }, опять же с индуцированной евклидовой метрикой.Секционная кривизна везде равна 0 Любой «горизонтальный» круг{(x,y,z) : } с фиксированным z является душой M .Негоризонтальные сечения цилиндра не являются душами, поскольку они не являются ни вполне выпуклыми, ни вполне геодезическими.




Догадка о душе
Как упоминалось выше, Громолл и Мейер доказали, что если g имеет положительную секционную кривизну, то душа является точкой.Чигер и Громолл предположили, что это будет иметь место, даже если g имеет неотрицательную секционную кривизну, а положительность требуется только для всех секционных кривизн в одной точке.Эта догадка о душе была доказана Григорием Перельманом, который установил более весомый факт, что ретракция Шарафутдинова является римановой субмерсией и даже субметрией.