Теорема Душа Чигера и Громолла Принцип Доказательство и разъяснение фразы

Принцип Доказательство
При изучении некомпактных полных римановых многообразий нас особенно интересуют геодезические, минимизирующие длину между двумя их точками. Для каждой точки p многообразия, аргументируя компактность сферы единичных касательных векторов, можно показать, что существует по крайней мере один «радиус», полученный из p, то есть геодезическая, определенная на всех ее точки.
К этому предварительному рассмотрению добавляется гипотеза положительной кривизны, которая позволяет, в частности, использовать теорему сравнения Топоногова для управления эволюцией длин. Это инструмент, который в 1969 году использовали Громолл и Мейер для создания по радиусу полностью выпуклой детали . Они сформировали воссоединение всех шаров (то есть шаров, радиус которых соединяется с) и определили часть как дополнение этого воссоединения. Пересечение всех для разных радиусов от точки является полностью выпуклой частью, и мы можем показать, что она компактна и содержит «простую» точку, тои есть геодезические из этой точки никогда не возвращаются в Это.Более общее доказательство Чигера и Громолля использует родственные идеи. Он включает в себя различные функции Буземана лучей, исходящих из данной точки, и минимум этих функций, который остается выпуклой функцией. Тогда речь идет об изучении линий уровня, но это требует серьезной технической обработки.
Можно показать, что душа не уникальна, но две души всегда изометричны. Это установил Шарафутдинов в 1979 году, построив на душе разнообразную ретракцию, не увеличивающую расстояния. В своей демонстрации гипотезы души Перельман установил, что это втягивание на самом деле является

Секционная кривизна — это функция K(σ)�(�) , которая зависит от секционного направления σ � в точке �p (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в �p). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке �p.
Гауссова кривизна —мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки. Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, то есть она не изменяется при изометрических изгибаниях.