Теоретические упражнения

1.8 Вычисление обратной матрицы
элементарными преобразованиями

Пусть дана невырожденная матрица n порядка:

А = .

Составим из матрицы А новую матрицу, приписав справа к матрице А единичную:

.

С помощью элементарных преобразований добьемся того, чтобы слева получилась единичная матрица, тогда справа будет матрица, обратная данной.

Пример 17
Найти матрицу, обратную матрице .
Решение
Припишем справа к матрице А единичную


.
Сначала приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Все необходимые преобразования будем подписывать над знаком эквивалентности, обозначив символом a_i строку матрицы.


.
Итак, матрица приведена к ступенчатому виду.
Добьемся того, чтобы матрица слева была единичной.

Таким образом, матрица А^-1=

2. Системы линейных уравнений


2.1 Общие сведения о системах линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(I)
Числа a_ij (i, j =1, 2, …, n) называются коэффициентами системы, а числа b_j называются свободными членами.
Решением системы называется совокупность чисел x₁, x₂, …, x_n, при подстановке которых в систему получаем верные равенства.
Система, имеющая решение, называется совместной.
Система, не имеющая решение, называется несовместной.
Если все свободные члены равны 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.


Замечание 7. Однородная система линейных уравнений всегда совместна. Она обязательно имеет нулевое решение (возможно не единственное)