Теория массового обслуживания введение

23.5. Классификация СМО

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),
2) с отказами;
3) смешанного типа.
В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится.
В системах с отказами поступившее требование, застав все уст­ройства занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с отказами может служить работа автоматической телефонной станции.
В системах смешанного типа поступившее требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установ­ленное время, требование покидает систему.
В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в оче­редь.
23.6. СМО с потерями.

Итак, в систему, состоящую из m линий, поступает про­стейший поток вызовов с интенсивностью , при этом каждый принятый вызов обслуживается с интенсивно­стью . При поступлении очередного вызова могут быть две ситуации:

1. 
   хотя бы одна линия свободна, тогда вызов принимается и обслуживается свободной лини­ей;
   
2. 
   все линии заняты обслуживанием, тогда вызов получает отказ и покидает систему, то есть теряется (от­сюда и название система с потерями). Таким образом, при отсутствии свободной линии вызов покидает сис­тему (теряется), не оказывая на нее никакого влияния. На рис. 2 приведен граф состояний СМО с потеря­ми.
   

Рис. 23.2. Граф состояний СМО с потерями

Состояние системы , k = 0, 1, 2,…, m, определяет­ся числом занятых линий k, которое равно числу вызо­вов, обслуживаемых системой. Переход вправо (всегда с интенсивностью при простейшем потоке) означает поступление очередного вызова и увеличение числа за­нятых линий на одну. Переход влево означает заверше­ние обслуживания одной линии и ее освобождение. При этом интенсивность перехода зависит от состояния: переход w_k → w_k-1 происходит с интенсивностью , так как в состоянии обслуживается одновремен­но k вызовов. Это обстоятельство приводит к заверше­нию обслуживания одного из вызовов (с интенсивнос­тью ), при этом одна линия освобождается, то есть число занятых линий уменьшается на 1. Таким обра­зом, в данном случае занятие линии рассматривается как рождение вызова, а освобождение линии (заверше­ние обслуживания вызова) – как гибель вызова.

Рассмотрим сначала однолинейную систему (m = 1). Число состояний такой системы равно двум. Предель­ные вероятности состояний будут
,
где – удобный параметр, равный отношению соответствующих интенсивностей.
Вероятность потерь , или вероятность того, что произвольный вызов, поступивший в систему, будет потерян, то есть получит отказ в обслуживании ввиду отсутствия свободной линии, а также среднее число за­нятых линий находят по формулам
,

Перейдем теперь к многолинейной СМО с потеря­ми. Предельные вероятности состояний

, ,
Эти формулы для предельных вероятностей числа занятых линий носят название формул Эрланга. Вид­но, что предельные вероятности зависят от параметра и числа линий m. Предельная вероятность состояния имеет следующий смысл: – это средняя доля време­ни на интервале бесконечно большой длины, в течение которого занято ровно k линий.
Вероятность потерь и среднее число занятых линий:


,

Таким образом, потери и загруженность линий зависят от параметра р и числа линий m. Интересно отметить, что при возрастании потери растут, а при убывании ( ) потери уменьшаются ( ).