Теория массового обслуживания введение

23.7. СМО с ожиданием.

Имеется система с m линиями обслуживания. При по­ступлении очередного вызова в систему с ожиданием могут быть две ситуации в зависимости от состояния системы: 1) хотя бы одна линия свободна, вызов при­нимается и обслуживается свободной линией; 2) все линии заняты, вызов не покидает систему, он становит­ся в очередь и ожидает, пока не освободится какая-ли­бо линия, при освобождении линии она берет вызов из очереди.

Итак, при отсутствии свободной линии вызов по­ступает в очередь. После освобождения линии он об­служивается, а после обслуживания вызов освобождает линию и покидает систему. Таким образом, главная особенность системы с ожиданием состоит в том, что необслуженные вызовы образуют очередь и ждут осво­бождения линий. Очередь образуется из вызовов, ожи­дающих обслуживания в момент, когда все линии заня­ты. При освобождении линии вызов на обслуживание берется из очереди. Длина очереди является случайной и может быть как угодно велика. Отличие данной сис­темы от системы с потерями заключается в том, что по­терь в прежнем виде нет. Обслуживание вызова, по­ставленного в очередь, только задерживается.
Состояние системы удобно обозначать числом вы­зовов, находящихся в системе. На рис. 3 показан граф состояний системы для обслуживания простейшего потока. Множество состояний является счетным (чис­ло возможных состояний бесконечно, так как очередь может быть бесконечной).

Рис. 23.3. Граф состояний СМО с ожиданием

Интенсивности переходов w_k → w_k+1 определя­ются параметром простейшего потока и поэтому не зависят от состояния. Интенсивности переходов w_k → w_k-1 зависят от состояния:

1. 
   при очереди нет, все вызовы обслуживаются, поэтому ;
   
2. 
   при или , , обслуживается m вызовов, а l вызовов ( ) находятся в очереди, поэтому .
   

Характеристики СМО с ожиданием являются более разнообразными, чем характеристики СМО с потеря­ми. Ограничимся рассмотрением вероятностей состоя­ний, вероятности задержки обслуживания и среднего числа занятых линий.
Для случая однолинейной системы (m = 1) предель­ные вероятности состояний определяются по формуле


,

Вероятность задержки обслуживания и среднее число занятых линий соответственно будут

,

Перейдем к многолинейной СМО с ожиданием, то есть m>1. Состояния системы могут быть двух видов:

1. 
   состояния, в которых очереди нет, ;
   
2. 
   со­стояния, в которых очередь есть, .
   

Прежде всего предельная вероятность состояния вычисляется по формуле

Видно, что под знаком второй суммы находится геоме­трический ряд со знаменателем . Найдем сумму этого ряда при условии, что или :

С учетом этого формулы для предельных вероятностей примут вид

,
,
,

Вероятность задержки обслуживания и среднее число занятых линий:

,

Интересно отметить, что при условии или рассмотренный выше геометрический ряд сходится. В противном случае он расходится. Условие сходимос­ти ряда имеет следующий смысл. Число оп­ределяет наибольшую производительность системы. Если , то система справляется с обслуживанием, если же , то система не справляется с обслужи­ванием, при этом длина очереди неограниченно возра­стает, предельные вероятности не существуют.

Из проведенных рассуждений следует, что СМО с потерями может обслужить любой входящий поток, при этом чем больше интенсивность потока, тем боль­ше потери. А система с ожиданием может обслужить поток ограниченной мощности, для которого обяза­тельно должно выполняться условие , так как при очередь бесконечно растет. Система с ожидани­ем является более сложной по сравнению с системой с потерями, так как она требует создания бункера с нео­граниченной емкостью для создания очереди. Наличие такого бункера объясняет независимость среднего чис­ла занятых линий от количества линий в системе.