Termiz davlat pedagogika

TEYLOR QATORI
f(x) funktsiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funktsiyani qatorga yoyish deb ataladi.
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
f(x)=a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (1)
(1) qatorning koeffisiyentlari va x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilalarini f(x) funktsiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi f(x<sub>0</sub>) =x<sub>0</sub> (2)
dan iborat bo`ladi.
f(x) funktsiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:
f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)
Bundan, x = x₀ bo`lgan holda
f`(x₀)=a₁ (4)
ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differentsiallab, quyidagini hosil qilamiz:
(5)
x = x<sub>0</sub> bo`lganda
. (6)
Yuqoridagi jarayonni davom ettirsak, quyidagilar hosil bo`ladi:

(7)
(2), (4), (6) va (7) lardan (1)- qator koeffisiyentlarini topamiz:
, , ,…, ,… (8)
a_0­­, a_1, a₂,… a_n lar Teylor koeffitsiyentlaridan iborat.
Agar (8)- qatordagi a_0­­,_, a₁,…a_n larning qiymatlari (1)- qatorga qo`yilsa, f(x) funktsiyaning x<sub>0</sub> nuqtadagi Teylor qatori hosil bo`ladi:
(9)
f(x) funktsiyaning x₀ nuqtadagi integral ko`rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagidan iborat:

R_n (x) – qoldiq had.
Bunda, .
ELEMENTAR FUNKTSIYaLARNI DARAJALI QATORLARGA YoYISh

1.f(x) =e^x funktsiyani x darajasi bo`yicha Makloren qatoriga yoyish.
Yechilishi: e<sup>x</sup> ning hosilalarini ketma–ket topamiz va x=0 nuqtada ularning qiy-matlarini aniqlaymiz:
, , , ,…
x=0 bo`lganda:
, , , ,…
Bu qiymatlarni Makloren qatoriga qo`ysak, quyidagi qator hosil bo`ladi:


2. f(x) = sinx funktsiyani Makloren qatoriga yoyish.
Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:

x =0 nuqtada ularning qiymatlarini topamiz va Makloren qatoriga qo`yamiz: