Termiz Davlat Universiteti Amaliy matematika va intellektual texnologiyalari

Termiz Davlat Universiteti
Amaliy matematika va intellektual texnologiyalari
fakulteti Amaliy Matematika ta’lim yo’nalishi
4-bosqich 320-guruh talabasi
Yusupov Botirning
Sonli Usullar fanidan Tayyorlagan
KURS ISHI

Tayyorladi: B.Yusupov
Qabul Qildi: M.Normatova

Mavzu: Gauss kvadratur formulalari

MUNDARIJA

1. 
   Kirish
   
2. 
   Asosiy Qism
   

I-BOB. Kvadratur formulalar

1. 
   Kvadratur Formula tushunchasi
   
2. 
   Kvadratur Formula turlari
   

II-BOB . Gauss kvadratur formulalar

1. 
   Gauss kvadratur formulalar
   
2. 
   Gauss kvadratur formulalar doir misollar
   
3. 
   Gauss kvadratur formulalar doir misollarning dasturiy yechimi
   
1. 
   XULOSA
   
2. 
   Foydalanilgan Adabiyotlar
   
3. 
   Ilovalar
   

KIRISH

1.1.Kvadratur Formula tushunchasi
Aniq integralni hisoblashda qo‘llaniladigan
(1)
taqribiy tenglik kvadratur formula deb ataladi.
Bu yerda p(x) 0 bo‘lib, uni odatda vazn funksiya, x_k va A_k (k = 0,1,...,n) lar mos ravishda kvadratur formulaning tugun nuqtalari hamda koeffitsiyentlari deyiladi
(2)
kvadratur formulaning qoldiq hadi deyiladi.
Ta’rif. Agar (1) kvadratur formula m-darajali ixtiyoriy algebraik ko‘phadlar uchim aniq bo‘lib, f(x)=x^m+1 uchun aniq bo‘lmasa, u holda uning algebraik aniqlik darajasi m ga teng deyiladi.
Biz quyida algebraik aniqlik darajasiga ega bo‘lgan kvadratur formulalar bilangina tanishamiz.
Bular:
- Interpolyatsion kvadratur formulalar
- Gauss tipidagi kvadratur formula
- Chebishev tipidagi kvadratur formula

2. 
   Kvadratur Formula turlari
   

Interpolyatsion kvadratur formulalar
Faraz qilaylik, [ a,b] oraliqda o‘zi va n + 1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan f(x ) funksiyadan p(x) 0 vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash lozim bo‘lsin. Buning uchun [a,b] ga tegishli va turli bo‘lgan x_k, k = 0,l,...,n tugun nuqtalar olib f(x ) funksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzamiz, ya’ni
(3)
Bu yerda
L agranj interpolyatsion ko‘phadining qoldiq hadi. (3) tenglikning ikki tomonini p(x) vazn funksiyaga ko‘paytirib, [ a,b] oraliq bo‘yicha integrallasak

ni hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o'tkazilgan bo‘lsa, uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkina deb, tashlab yuborsak
(4)
kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bunda

Yuqorida ko ‘rsatilgan tartibda hosil qilingan (4) formula, odatda, interpolyatsion kvadratur formula deyiladi va uning algebraik aniqlik darajasi n ga teng. Uning qoldiq hadi

ko‘rinishga ega. Bunda

Eng sodda kvadratur formulalar bilan tanishamiz.
Bu yerda p(x) = l.

1. 
   

o’rta to’g’ri to’rtburchaklar formulasi.
Uning qoldiq hadi

ni topish uchun f(x ) ni [a,b] da ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega deb faraz qilamiz. U holda Teylor formulasiga ko‘ra:

bu yerda Bu tenglikning har ikkala tomonini a dan b gacha integrallasak,
(5)
kelib chiqadi, chunki
Integral ostidagi funksiya o‘z ishorasini saqlaydi, shuning uchun (5) integralga umumlashgan o‘rta qiymat haqidagi teoremani qoTlash mumkin:
(6)

Endi(6)
(7)
ko‘rinishga ega bo ‘ladi.
Qoldiq had bahosi:



4. Umumlashgan kvadratur formulalar. Taqribiy integrallash formulasining xatoligini kamaytirish maqsadida amaliyotda umumlashgan kvadratur formulalardan foydalaniladi. Buning uchun [a,b] oraliqni h = (b-a)/N uzunlikda teng N bo’lakka bolamiz. Har bir [x_k, x_k+1] qismiy oraliq uchun o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasini qoTlab, ulami k= 0,1,…N-1 lar bo‘yicha yig‘ib chiqsak, umumlashgan o‘rta to‘g ‘ri to‘rtburchaklar formulasi kelib chiqadi:

Buning qoldiq hadi R₀ um ( f ) ni esa har bir qismiy oraliq uchun o‘rta to‘g‘ri to‘rtburchak formulasining qoldiq hadlari yig‘indisiga teng bo’ladi:
(10)
Buyerda
Ikkinchi tartibli hosilaning uzluksizligidan, Koshi teoremasiga binoan shunday mavjudki,

bo'ladi. Demak, (10) quyidagicha bo‘ladi