Termiz muhandi

1. Berilgan x va y vektorlarni qo`shganda ularning mos koordinatalari qo`shiladi: x + y = (x₁ + y₁; x₂ + y₂; …; x_n + y_n).
2. Berilgan x vektorni k haqiqiy songa ko`paytirganda uning har bir koordinatasi k marta ortadi: kx = (kx<sub>1</sub>; kx<sub>2</sub>; …; kx<sub>n</sub>).
Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga bo`ysinadi:

1) x + y = y + x;

2) x + (y + z) = (x + y) + z; 3) x + (- y) = x – y ;
4) α (x + y) = α x + α y;
5) (α + β) x = α x + β x;

6) α (β x) = (α β) x; 7) x + θ = x;
8) x 1 = x ,

bu yerda, x, y va z – arifmetik vektorlar, α va β esa haqiqiy sonlar.

3. Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi Skalyar ko`paytma xossalari

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) va y = (y₁; y₂; …; y_n) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,

^{(x, y) = x1y1 + x2y2 + …+ xnyn yoki (x,y) }^x_i^y_i^. i1

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:

^{x x}₁ ^x₂ ^...x_n ^{yoki x }^x_i ^. i1

Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:

1) (x, x) ≥ 0 ,

2) (αx, y) = α(x, y),
3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

4) (x, y) = (y, x).

4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi


Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.

Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.
Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

^x_i ^y_i ^^x_i ^y_i i1 i1 i1

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda

(x, y) = |x| |y| cosφ (φ [0; π]).

tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik

vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:

cos^(x,y) ([0;])

R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi

|x + y| ≤ |x| + |y|

tengsizlik o`rinli.