Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

9.1- chizma.

Agar [a,b] kesmada f x 0 va uzluksiz bo’lsa, u holda aABb yuzasi

b

S  f  x dx (9.14)

a

formula bilan topiladi.

2. 
   Uzluksiz x  y  y  0 egri chiziq, y  c₁ va y  d to’g’ri chiziqlar hamda Oy o’qining [c,d] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
   

d

S   y dy (9.15)

c

formula bilan hisoblanadi .

3. 
   Uzluksiz y  f₁ x va y  f₂  x egri chiziqlar hamda x  a, x  b a  b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi
   

b

S  f₂  x  f₁ x dx, (9.16)

a

formula bilan hisoblanadi (9.2 - chizma). y

9.2 – chizma.

4. 
   Agar [d,e] kesmada y  f  x funksiya uzluksiz va chekli sonda o’z ishorasini almashtirsin (9.3 - chizma). Masalan, [a,b], [b;d] musbat va [d,e] kesmada manfiy qiymatlarni qabul qilsin.
   

U holda

bde

S  S ₁  S ₂  S ₃   f  x dx  f  x dx  f  x dx .

abd

5) Yuqori chegarasi parametrik ko’rinishda berilgan egri chiziq x  t , y  t  t   va yon tomonlari a x va b  x chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash uchun (9.13) formuladan foydalanamiz.

b b

S   f  x dx  ydx

a a

y t

x   t_

dx   t dt    t  t dt x  a  t  ^ x  b  t  

6) Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqli OAB sektorning yuzini (9.4chizma) quyidagi formula yordamida topamiz:



1. 
   2
   
2. 
   2
   

S  lim  r   r d (9.18)

0² _1

y



9.4 – chizma.

5. 
   Uzluksiz y  f  x f  x  0 egri chiziq xa va x  b to’g’ri chiziqlar hamda Ox o’qining [a,b] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
   

b

S   f  x dx (9.13)

a

formula bilan hisoblanadi (9.1-chizma).

y

x

9.1- chizma.

Agar [a,b] kesmada f x 0 va uzluksiz bo’lsa, u holda aABb yuzasi

b

S  f  x dx (9.14)

a

formula bilan topiladi.

6. 
   Uzluksiz x  y  y  0 egri chiziq, y  c₁ va y  d to’g’ri chiziqlar hamda Oy o’qining [c,d] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
   

d

S   y dy (9.15)

c

formula bilan hisoblanadi .

7. 
   Uzluksiz y  f₁ x va y  f₂  x egri chiziqlar hamda x  a, x  b a  b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi
   

b

S  f₂  x  f₁ x dx, (9.16)

a

formula bilan hisoblanadi (9.2 - chizma). y

9.2 – chizma.

8. 
   Agar [d,e] kesmada y  f  x funksiya uzluksiz va chekli sonda o’z ishorasini almashtirsin (9.3 - chizma). Masalan, [a,b], [b;d] musbat va [d,e] kesmada manfiy qiymatlarni qabul qilsin.
   

U holda

bde

S  S ₁  S ₂  S ₃   f  x dx  f  x dx  f  x dx .

abd

5) Yuqori chegarasi parametrik ko’rinishda berilgan egri chiziq x  t , y  t  t   va yon tomonlari a x va b  x chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash uchun (9.13) formuladan foydalanamiz.

b b

S   f  x dx  ydx

a a

y t

x   t_

dx   t dt    t  t dt x  a  t  ^ x  b  t  

6) Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqli OAB sektorning yuzini (9.4chizma) quyidagi formula yordamida topamiz:



3. 
   2
   
4. 
   2
   

S  lim  r   r d (9.18)

0² _1

y



9.4 – chizma.

Mavzu: Furye qatori va uning tatbiqlari

Har bir hadi u_n (x) = a_n cosnx +b_n sin nx (n = 0,1,2,...) quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan

∞ a₀ +∑(a_n cosnx + b_n sin nx) (1.1)

n=1

funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi. a₀ ,a₁ ,b₁ ,a₂ ,b₂ ,... sonlar esa trigonometrik qatorning koeffisientlari deyiladi.

Bu qatorda asosiy masala ularning koeffisientlarini topishdan iborat

(1.1) trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi

T_n (x) = a₀ +∑ⁿ (a_k coskx +b_k sin kx)

k=1

trigonometrik ko’phad deb ataladi.

Faraz qilaylik, f(x) funksiya [−p,p] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda

f(x)cosnx , f(x)sinnx (n=1,2,,…) funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi sifatida [−p,p] da integrallanuvchi bo’ladi.Bu funksiyalarning integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik:

p

a dx

−p

17

a_n = ^{1 p}∫ f (x)cosnxdx (n=1,2,….) (1.2)

p −p

1 p

b_n = ∫ f (x)sin nxdx (n=1,2,….)

p −p

Bu sonlardan foydalanib, ushbu

T (1.3)

trigonometrik qatorni tuzamiz.

Ta’rif: a₀ ,a₁ ,b₁ ,a₂ ,b₂ ,... koeffisientlari (1.2) formulalar bilan aniqlangan (1.3) trigonometrik qator f(x) funksiyaning Furye qatori deb ataladi. a₀ ,a₁ ,b₁,a₂ ,b₂ ,...a_n ,b_n ,...sonlar esa f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari deyiladi.

Ta’rifga asosan: f (x) ~ T( f ;x) = ^a0 +∑^∞ (a_n cosnx + b_n sin nx)

2 n=1

bo’ladi.

Misol .Ushbu f (x) = e^ax (−p ≤ x ≤ p,a ≠ 0) funksiyaning Furye qatori tuzilsin.

(1.2) formuladan foydalanib, bu funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:

p

a₀ = ¹ ∫e^axdx = ¹ (e^ap − e^−ap )= ² shap p _−p ap ap

1 ^p an = p ^∫eax cosnxdx = p1 a cosanx2 ₊⁺_nn2sin nx −^pp =

−p

= (−1)ⁿ p¹ a ₂²+^a n 2 shap,(n =1,2,3,...)

18

bn = ^{1 p}∫e^ax ¹ a sin nx2 − ncos2 nx ax ^p =

_{sin nxdx} = _e

p _−p p a + n −p

= (−1)^{n−1 1} ₂²ⁿ ₂ shap(n =1,2,3,...)

p a + n

Demak, berilgan funksiyaning Furye qatori

^ax ~ a0 +∑∞ (an cosnx + bn sin nx) = e

2 n=1

= 2shap  1a +∑n∞=1 a(2−1+)nn 2 (a cosnx − nsin nx)

p 2

bo’ladi.

Faraz qilaylik, biror

a₀ ∑∞ _{n n}

+ (a cosnx + b sin nx) (1.3)

2 n=1

trigonometrik (funksional) qator [−p,p] da yaqinlashuvchi bo’lsin. Uning yig’indisini f(x) deb belgilaylik:

a0 ∑∞ n n

+ (a cosnx + b sin nx) = f (x) (1.4)

2 n=1

Bundan tashqari, (1.3) ni hamda uni coskx va sinkx (k=1,2,…) larga ko’paytirishdan hosil bo’lgan

a0 ∑∞ n n coskx + (a cosnxcoskx + b sin nxcoskx) = f (x)coskx , (1.5)

2 n=1

a0 ∑∞ n n sin kx + (a cosnxsin kx + b sin nxsin kx) = f (x)sin kx

2 n=1

bu yerda, (k =1,2,3,...) qatorlarni [−p,p] da hadlab integrallash mumkin bo’lsin.

(1.4) va (1.5) larni [−p,p] da integrallaymiz:

19

^p∫ f (x)dx =_∫^{p }^a2⁰ +∑n^∞=1 (a_n cosnx +b_n sin nx)^_dx =

−p −p 

^p a ^{∞  p p }

= ∫ 2⁰ dx +_∑n=1 _a_n −∫pcosnxdx + b_n −∫psin nxdx_= pa₀ ,

−p

^p_∫ f (x)coskxdx = ^p_∫^^a2⁰ coskx +∑n^∞=1 (a_n cosnxcoskx +b_n sin nxcoskx)_^dx =

−p −p

^a20 −^p∫pcoskxdx +_∑n^∞=1 ^_a_n −_∫^ppcosnxcoskxdx + b_n −_∫^ppsin nxcoskxdx^_, ^p_∫ f (x)sin kxdx = ^p_∫^^a2⁰ sin kx +∑n^∞=1 (a_n cosnxsin kx + b_n sin nxsin kx)_^dx =

−p −p

= ^a20 −_∫^ppsin kxdx +_∑n^∞=1 _^a_n −^p∫pcosnxsin kx +b_n −_∫^ppsin nxsin kx_^.

Agar n ≠ k da

p p

∫sin nxsin kxdx = ¹ ∫[cos(n − k)x −cos(n + k)x]dx =

²

−p −p

= sin(nn−−kk)x − sin(nn++kk)x−pp 12 = 0

va

p p

∫sin ² nxdxp ,

−p

shuningdek,

p p p

∫cosnxcoskxdx = 0(n ≠ k), ∫cos² nxdx = p, ∫cosnxsin kxdx = 0(n,k = 0,1,2,3,...)

−p −p −p bo’lishini e’tiborga olsak,u holda

p

∫ f (x)dx = pa ₀ ,

−p

20

p

∫ f (x)coskxdx = pa _k (k=1,2,3,…)

−p p

∫ f (x)sin kxdx = pb_k (k=1,2,3,…)

−p

ekanini topamiz. Bu tengliklardan esa

p adx ,

1 p a_k = p −∫p f (x)coskxdx , (1.2)

p

b_k = p¹ −∫p f (x)sin kxdx (k=1,2,3,…) kelib chiqadi.

Demak, f(x) funksiya trigonometrik qatorga yoyilgan bo’lsa va bu qator uchun yuqorida aytilgan shartlar bajarilsa, u holda bu trigonometrik qatorning koeffisientlari f(x) funksiya orqali (1.2) formulalar bilan ifodalanadi, ya’ni f(x)ning Furye koeffisientlari bo’ladi.