Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari.

Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari birmuncha sodda ko’rinishga ega bo’ladi, ya’ni f(x) funksiya [−p,p]da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu [−p,p] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx juft funksiya, f(x)sinnx

(n=1,2,…) esa toq funksiya bo’ladi va ular [−p,p]da integrallanuvchi bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini

topamiz:

1 p 1  0 p 

a_n = p ^∫ f (x)cosnx = _p _−^∫p f (x)cosnxdx +^∫0 f (x)cosnxdx_ =

−p

p

nxdx (n = 0,1,2,...),

1 p 1  0 p 

b_n = p −∫p f (x)sin nxdx = p −∫p f (x)sin nxdx +∫0 f (x)sin nxdx =

1. 
    p p 
   

= p −∫0 f (x)sin nxdx +∫₀ f (x)sin nxdx = 0 (n =1,2,3,...).

Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari

2. 
   p a_n = ∫ f (x)cosnxdx (n = 0,1,2,...), b_n = 0 (n =1,2,3,...) (1.6)
   

p 0

bo’lib, Furye qatori esa

a0 ∑∞ n f (x) ~ T( f ;x) = + a cosnx bo’ladi.

2 n=1

Endi f(x) funksiya [−p,p]da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu [−p,p] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x)cosnx toq funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa juft funksiya bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:

¹ p ¹  0 p 

a_n = p −∫p f (x)cosnxdx = p −∫p f (x)cosnxdx +∫0 f (x)cosnxdx =

1  p p 

= p −∫0 f (x)cosnxdx +∫₀ f (x)cosnxdx = 0 (n = 0,1,2,...),

1. 
   p 1  0 p 
   

b_n = p −∫p f (x)sin nxdx = p −∫p f (x)sin nxdx +∫0 f (x)sin nxdx =

p

nxdx (n =1,2,3,...).

Demak, toq f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari

a_n = 0 (n = 0,1,2,,...),

p

b_n = ² ∫ f (x)sin nxdx (n =1,2,3,...) (1.7)

p 0

bo’lib, Furye qatori esa

∞ f (x) ~ T( f ;x) =∑b_n sin nx

n=1

bo’ladi.

Misol. f (x) = x ² (−p ≤ x ≤ p) funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.6) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz:

p a ,

2. 
   p ₂ ² ₂ ^{sin nx} p 4 p a_n = ∫₀ x cosnxdx = x 0 − ∫ xsin nxdx = p p n np ₀
   

=− ^{4 }^− x ^{cosnx } ^p + ^p∫cosnxdx^ = (−1)^{n 4}₂ (n =1,2,...). np  n  0 0  n

Bundan, f (x) = x ² funksiyaning Furye qatori ushbu

x

1

ko’rinishida bo’ladi.

[-l,l] oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori. Biz yuqorida [−p,p] oraliqda berilgan funksiya uchun uning Furye qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy [l,l] (l>0) oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin.

f(x) funksiya [l,l] (l>0) da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.

t = ^p x (1.8) l

Almashtirish bajaramiz, bu almashtirish [l,l] oraliqni [−p,p] oraliqqa o’tkazadi. Agar

f (x) = f ^ ^l t^= j ( )t

p 

deb olsak, u holda j (t) funksiyani [−p,p] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu j (t) funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo’ladi:

( )t ~ T(j ;t)= a ∞ , j

n=1

bu yerda

an = p¹ −^p∫pj ( )t cosntdt (n = 0,1,2,...),

b_n = p¹ −^p∫pj ( )t sin ntdt (n =1,2,3,...).

Yuqoridagi (1.8) tenglikni e’tiborga olsak, u holda

j ^^p x^ ~ ^a0 +^∑n^∞1 ^a_n cosn^p_l x +b_n sin n^p_l x^

 _l  ₂ =

bo’lib, uning koeffisientlari qo’yidagicha:

an = ¹l ^∫llj ^^p_l x^cosn^p_l xdx (n = 0,1,2,...),

−

b_n = ¹ _∫^llj ^_^p_l x_^sin n^p_l xdx (n =1,2,3,...) _l −

bo’ladi.

Natijada

24

f ( )x ~ ^a0 +∑^{∞ }a_n cos ^npx + b_n sin ^{npx } (1.9)

2 n=1  l l 

ga ega bo’lamiz, bu yerda

a_n = ¹ _∫^l f (x)cos ^npx dx (n = 0,1,2,...),

l −l l

bn = ¹ _∫^l f (x)sin ^npx dx (n =1,2,3,...). (1.10)

l −l l

(1.9) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni [-l,l] da berilgan f(x) ning

Furye qatori deyiladi, (1.10) Furye koeffisientlari deyiladi. Misol.Ushbu

f (x) = e^x (−1≤ x ≤1) funksiyaning Furye qatori yozilsin.

(1.10) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz (bunda l=1) a ,

an = ∫1 e x cosnpdx = np sin npx2+ cos2 npx ex+1 =

1+ n p

−1−1

= (ecosnp − e⁻¹ cosnp)= (−1)^{n e −e}₂ ⁻¹₂ (n =1,2,...),

1+ n p

bn = ∫1 e x sin npxdx = sin npx − n2p cos2 npx ex +1 =

1+ n p

−1−1

=(enp cosnp + e⁻¹np cosnp)= ^{np cos}₂ ⁿ₂^p (e⁻¹ − e)=

1+ n p

= ^np(⁻₂¹)₂ⁿ (e⁻¹ − e)= (−1)^{n+1 e − e}₂ ⁻¹₂ np (n =1,2,3,...)

1+ n p 1+ n p

25

Demak, f (x) = e^x funksiyaning (−1≤ x ≤1) Furye qatori ushbu

ex ~ e −2e−1 +(e −e−1 )∑n∞1 1+(−n12)pn 2 cosnpx + 1(+−1n)2np+12 pnsin npx

= 

ko’rinishda bo’ladi.