Teylor qatari. Elementar funksiyalardi da’rejeli qatarlarg’a jayiw

Teylor qatari. Elementar funksiyalardi da’rejeli qatarlarg’a jayiw

Biz joqarıda, qálegen dárejeli

qatar óziniń jıynaqlılıq intervalı (-r,r) de úzliksiz S(x) funksiyanı (dárejeli qatar qosındısın) ańlatıp, bul funksiya usı aralıqta qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolıwın kórdik.
Endi bazıbir aralıqta qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolǵan funksiyanı dárejeli qatarǵa jayıw máselesin qaraymız.
1. Funksiyalardı Teylor qatarına jayıw. f(x) funksiya noqattıń bazıbir

dógereginde berilgen bolıp, usı dógerekte funksiya qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolsın. Kórinip tur, bul jaǵdayda funksiyanıń 1-bólim, 6-bap, 7-§ de keń túrde úyrenilgen Teylor formulası

ti jazıw múmkin, bunda qaldıq aǵza.
Berilgen f(x) funksiyanıń noqatta qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolıwı Teylor formulasındaǵı aǵzalardıń sanın qálegenimizshe úlken sanda alıw múmkinshiligin beredi. Solay eken, tábiyǵıy túrde mına
(14.47)
qatar júzege keledi. Bul ayrıqsha dárejeli qatar bolıp onıń koeffisientleri f(x) funksiya hám onıń tuwındılarınıń noqattaǵı mánisleri arqalı ańlatılǵan.ádette (14.47) dárejeli qatar f(x) funksiyanıń Teylor qatarı dep ataladı.
Dara jaǵdayda, de qatar tómendegishe boladı;
(14.48)
Dárejeli qatarlar dep atalǵan 8-§ diń basında kórinistegi dárejeli qatarlardı úyreniwdi kelisip alǵan edik. Usını itibarǵa alıp, f(x) funksiyanıń (14.48) kórinistegi Teylor qatarın úyrenemiz.
Jáne bir márte atap kórsetemiz, (14.47) qatar f(x) funksiya menen óziniń koefisientleri arqalı baylanısqan bolıp, bul (14.47) qatar jıynaqlı bolama, jıynaqlı bolǵan jaǵdayda onıń qosındısı f(x) ke teń bolama, bunnan ǵárezsiz túrde, onı f(x) funksiyanıń Teylor qatarı dep atadıq.
Tábiyǵıy túrde tómendegi sawal tuwıladı: qashan bazıbir dógerekte berilgen, qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolǵan f(x) funksiyanıń Teylor qatarı.

usı aralıqta usı f(x) ke jıynaladı?
14.23-teorema. f(x) funksiya bazıbir aralıqta qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolıp, onıń noqattaǵı Teylor qatarı
(14.48)
bolsın.
Bul qatar (-r,r) aralıqta f(x) ke jıynalıwı ushın f(x) funksiya Teylor formulası
(14.49)
tiń qaldıq aǵzası barlıq de nolge umtılıwı zárúr hám jetkilikli.