Teylor qatari. Elementar funksiyalardi da’rejeli qatarlarg’a jayiw

Dálil. Zárúrligi. Dáslep (14.48) qatardıń koeffisientleri menen (14.49) Teylor formulasındaǵı koeffisentlerdiń bir qıylı ekenligin atap kórsetemiz.
(14.48) qatar jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı f(x) ke teń bolsın. Ol jaǵdayda bul qatardıń dara qosındısı

ushın boladı. Bunnan bolsa ushın

bolatuǵını kelip shıǵadı.
Jetkilikligi. de bolsın. Ol jaǵdayda bolıp, onnan bolsa

bolatuǵını kelip shıǵadı. Bul bolsa (14.48) qatar jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı f(x) ke teń bolatuǵının, yaǵnıy
(*)
ekenligin bildiredi. Teorema dálillendi.
Ádette (H) qatnas orınlı bolsa, f(x) funksiya Teylor qatarına jayılǵan dep ataladı.
14.24-teorema. Eger f(x) funksiya aralıqta dárejeli qatarǵa jayılǵan bolsa:
(14.50)
bul qatar f(x) funksiyanıń Teylor qatarı boladı.
Dálil. 14.21-teorema hám onıń saldarına muwapıq (14.50) dárejeli qatar (-r,r) aralıqta qálegen márte (aǵzalap) differensiallanıwshı boladı;



           

boladı. Keyingi teńliklerde dep tómendegilerdi tabamız:

Nátiyjede (14.50) qatardıń kórinisi tómendegishe boladı:

Bul bolsa teoremanı dálilleydi.
Mısal. Mına

funksiyanı qarayıq. Bul funksiya de barlıq tártiptegi tuwındılarǵa iye:
a) bolǵanda


      

      
bunda P(u) – u diń rasional funksiyası. Bul

qatnastıń tuwrılıǵı matematikalıq induksiya metodı járdeminde kórsetiledi.
b) bolsın. Berilgen funksiya noqatta barlıq tártiptegi tuwındılarǵa iye bolıp, olar nolge teń boladı:

haqıyqattanda,


               
Ulıwma jaǵdayda, bolıwın matematikalıq induksiya metodı járdeminde kórsetiw múmkin.
Demek, berilgen funksiyanıń noqattaǵı barlıq tártiptegi tuwındıları nolge teń eken.
Bul funksiyanıń noqattaǵı Teylor qatarı

bolıp, onıń qosındısı 0 ge teń.
Keltirilgen mısaldan kórinedi, bazıbir aralıqta qálegen tártiptegi tuwındılarǵa iye bolǵan ayırım funksiyalardıń Teylor qatarı usı aralıqta qaralıp atırǵan funksiyaǵa jıynalmawıda múmkin eken.
Tómende funksiyanıń Teylor qatarına jayılıwınıń jetkilikli shártin anıqlaytuǵın teoremanı keltiremiz.
14.25-teorema. f(x) funksiya bazıbir (-r,r) aralıqta qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolsın. Eger sonday ózgermes sanı tabılıp, barlıq hámde barlıq ushın

teńsizlik orınlansa, onda (-r,r) aralıqta f(x) funksiya Teylor qatarına jayıladı, yaǵnıy
(14.50)
Dálil. f(x) funksiya ushın Teylor formulası

ti jazıp, onıń Lagranj kórinisindegi qaldıq aǵzası

di alayıq. Ol jaǵdayda

boladı. Eger

bolıwın itibarǵa alsaq, onda

ekenligin anıqlaymız. Bul bolsa (14.50) qatnastıń orınlı bolıwın bildiredi. Teorema dálillendi.