The Failures of Mathematical Anti-Evolutionism

particular, he derided the mathematical models of population genetics
as “beanbag genetics,” and believed that such models were too
simplistic to be useful for anything. While Mayr was a giant of
twentieth century biology, on this point he was in the minority
among his colleagues. One of his main foils in this debate was J. B. S.
Haldane, who pioneered the mathematical treatment of evolution. For
a readable account of their points of view, try the book by Dronamraju
(2011).

---

5
Probability Theory
5.1 a warm-up puzzle
We have noted that evolution seems implausible to many because
it runs afoul of our intuition that natural forces are unlikely to
build complex, functional structures, no matter how much time you
give them. Mathematical anti-evolutionism is largely an attempt to
provide a rigorous foundation for that intuition. Since probability
theory is the branch of mathematics that quantifies how likely or
unlikely we believe an event to be, it naturally plays a big role in
anti-evolutionist literature.
Probability can be a tricky subject, so let us try a warm-up
exercise. Suppose you have two well-shuffled decks of cards, and you
turn over the top card on each deck. What is the probability that you
get the ace of spades on at least one of the decks? Think about that
for a moment before reading on.
Here is a plausible argument: Each deck has 52 cards, only one of
which is the ace of spades. That means the probability of turning over
the ace of spades on each deck individually is 1/52. And since the two
decks are independent of one another, we can add these probabilities
to get
1
52
+
1
52
=
2
52
=
1
26
.
What do you think?
Of course, if that really were the answer, then the problem
would not be worth mentioning. The problem is interesting precisely
because that seemingly impeccable argument overlooks an important
point, illustrated in Figure 5.1. Informally, the problem is that we do
not win as often as we think we do because sometimes we get the ace
110

---

5.1 a warm-up puzzle 111
figure 5.1 If the ace appears
on the left deck with a random
card on the right (the three of
diamonds in this example),
then we win. And if the ace
appears on the right with a
random card on the left, we
also win. But if the ace appears
on both decks simultaneously,
then we have wasted one of
our rare and precious wins.
of spades on both decks. When that happens, it is as though we wasted
one of our rare and precious wins. We win so long as either top card
is the ace of spades, but we do not get a double win if both top cards
are aces.
We can quantify this. Since there are 52 possible top cards for
the first deck, and 52 possible top cards for the second deck, we see
that there are 52
× 52 = 2,704 possible pairs that we might get when
we flip over the cards.
How many of those pairs have an ace of spades in them? Well,
we can get the ace of spades on the first deck paired with any card on
the second, and that makes 52 pairs. Likewise, we can get the ace of
spades on the second deck paired with any card on the first, and that
makes another 52 pairs, for a total of 104. However, the pair in which
both cards are the ace of spades got counted twice, meaning we need
to subtract 1 to get 103.

---

112 5 probability theory
So the answer is 103/2,704, which is very slightly less than
1/26. (If you care to check, 104/2,704 is exactly 1/26.)
That was just a brainteaser, but it raises an important point.
Probability can be surprisingly subtle. In particular, when you carry
out a probability calculation, you need to be very precise about the
space in which you are working.
As we shall see, anti-evolutionist probability never heeds this
warning.
5.2 a probability primer
Recall that in Section 3.2, we made a distinction between track one
and track two mathematics. Track one is about having an intuitive
and general understanding of the mathematical concepts. Track two is
about expressing everything with care and precision, and this usually
necessitates the use of mathematical notation. We emphasized that
both tracks are important when assessing a piece of mathematics.
Without track one it is difficult to understand what the symbols are
saying, and without track two the conversation is inevitably too vague
and imprecise for scientific purposes.
Here, and in the next two chapters, we turn to the arguments
at the heart of modern mathematical anti-evolutionism. A proper
assessment of these arguments requires getting our hands dirty with
some technical details. In most cases, a track one discussion will
be sufficient to expose the anti-evolutionist’s conceptual errors. In
certain cases we will refer to some track two details, but it will always
be possible to follow the flow of the argument even if these details
become too dense.
With that said, let us return to our discussion of probability.
A track one approach to the subject begins with the observation that
sometimes long runs of events are predictable even though individual
events are not. For example, we may not know if a fair coin will land
heads or tails, but we know that in a large number of tosses it will land
heads roughly half the time and tails roughly half the time. Likewise,

---

5.2 a probability primer 113
if we draw a card from a well-shuffled deck, then we do not know
what suit we will get. But we do know that if we choose cards over
and over again, then each of the four suits will appear roughly one
fourth of the time.
Moreover, these conclusions are intimately related to counting.
The coin toss has two possible outcomes – heads or tails – and each
is equally likely. That is why we get heads half the time and tails half
the time. In our second example, we know that each of the four suits
is represented 13 times among the 52 cards. We take that to mean that
each suit will be chosen roughly 13 out of every 52 times, which is
the same as one time out of every four.
A slightly more complicated example involves rolling two six-
sided dice. If we roll the dice, then what is the most likely sum?
Naively, we might argue that there are 11 possible outcomes since
the sum can be anything from 2 to 12. If these sums are treated as
equally likely, then we might think each sum occurs with probability
1 out of 11. However, it is not hard to spot the error in this reasoning.
There are actually 36 possible outcomes, not 11, since each of the two
dice has six possible outcomes on its own. Among those 36 possible
outcomes, we can quickly count that there are six ways to get a sum
of seven. (We could get 1 on the first die and 6 on the second, 2 on
the first die and 5 on the second, and so on.) When we do a similar
count for all the other possible outcomes, we find that none occurs
more often than a sum of 7.
Let us push this a little further. What happens if we want
the probability that two events will happen together? For example,
suppose that I am tossing a coin on one side of the room while you
are rolling a die on the other. What is the probability that I toss a head
at the same time that you roll a 3? Our reduction of probability to
counting handles this case well. There are twelve possible outcomes
for this experiment: I can get a head paired with any of the six numbers
on the die, or I can get a tail paired with any of the six numbers on
the die. These twelve outcomes are equally likely, so the probability
of getting a head with a 3 is 1/12.

---

114 5 probability theory
The interesting part is that I could have arrived at the same con-
clusion by multiplying the individual probabilities. The probability of
getting heads is 1/2, and the probability of rolling a 3 is 1/6. When I
multiply these together I get 1/12, same as before. Note that there are
two possible outcomes for tossing a coin and six possible outcomes
for rolling a die, and that makes twelve possible outcomes for the two
activities taken together.
We can even do an abstract proof of this. Suppose that one
event happens with probability p/q and a separate event occurs with
probability r/s. Then we can take this to mean that there are q
possible outcomes for the first experiment and s possible outcomes
for the second experiment, which makes qs possibilities for the two
experiments taken together. Likewise for the top of the fraction: the
first event can happen in p possible ways, while the second event can
happen in r possible ways, and this makes pr possible ways for the
two events to happen together.
This is a very useful principle: If two events are independent,
then the probability that both events occur is found by multiplying
the individual probabilities. But this only works when the events are
independent! If the events are related to one another, then multiplying
the probabilities gives the wrong answer.
For example, suppose we draw cards from a deck and we want
the probability we choose a card that is both red and a heart. We
certainly could not multiply the probabilities together since being a
heart forces you to be red. The two events are related to one another,
and therefore they are not independent. Indeed, the probability of
drawing a red card is 1/2, and the probability of drawing a heart is 1/4.
Multiplying these together gives 1/8. But the correct answer is 1/4,
since the probability of drawing a red heart is just exactly the same
as the probability of drawing a heart, and since exactly one quarter of
the cards in a deck are hearts.
This is an important point since, as we shall see, anti-
evolutionists sometimes multiply probabilities together without
first verifying that the underlying events are independent.

---

5.2 a probability primer 115
These examples are already sufficient for a track one treatment
of probability. Our intuition is that long runs of identical trials might
be broadly predictable even when individual outcomes are not. We
can often get at these long run patterns by counting up possibilities
among equally likely outcomes. But we have to be careful about how
we do our counting since there is a danger of treating outcomes as
equally likely when really they are not.
This shows us what is needed as we pass to a track two
treatment of probability. A proper probability calculation must begin
with a rigorous accounting of all possible outcomes, coupled with an
initial assignment of probabilities to each outcome. The manner in
which we assign the probabilities is referred to as the “probability
distribution” for the outcomes. When we have a properly enumerated
list of outcomes coupled with an appropriate distribution, we say that
we have a well-defined “probability space.” In other words, we cannot
talk seriously about probability until we have defined the space in
which we will work.
The concept of a distribution will be especially important going
forward, so let us pause to consider it more carefully. When we assign
the same probability to every outcome, we say that we have used
the “uniform distribution.” For example, we are using the uniform
distribution when we assign heads and tails a probability of 1/2 when
we flip a coin. We use it again when we assign a probability of 1/6 to
each of the six numbers on a standard die.
On the other hand, the uniform distribution is not always
appropriate. When we roll two dice, we can take our space of outcomes
to be the eleven numbers from 2 to 12. We have already seen that of
the 36 ways two dice can land, six of them correspond to a sum of 7.
We can quickly see that 2 and 12 can only happen one way each (snake
eyes or boxcars). Totals of 3 and 11 can happen two ways each (1, 2
and 2, 1 for a 3, and 5, 6 and 6, 5 for an 11). Continuing in this way,
we see there are three ways of getting 4 or 10, four ways of getting 5
or 9, and five ways of getting 6 or 8. Putting everything together, we
get the probability distribution shown in Table 5.1. If you are unclear

---

116 5 probability theory
Table 5.1 The probability distribution for the possible