Тический анализ

5. Вычисление кратных интегралов .
Сведение кратного интеграла к повторным:
Пусть — измеримое множество,
— также измеримое множество , определена и интегрируема на G. Тогда:

0. 
   существует всюду на D, кроме множества Лебеговой меры нуль ( может быть пустым);
   
1. 
   существует , где
   

называемый повторным интегралом от функции по множеству G;

0. 
   Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.
   

5.2. Замена переменных в кратном интеграле . Использование симметрии .
Пусть задано биективное отображение , переводящее область в D:

где t — «старые» координаты, а x — «новые» координаты. Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан

Тогда при условии существования интеграла

справедлива формула замены переменных:


Использование симметрии
Если область интегрирования симметрична относительно начала координат по крайней мере для одной из переменных интегрирования и подынтегральная функция нечётна по этой переменной, интеграл равен нулю, поскольку интегралы по двум половинкам области интегрирования имеют одно и то же абсолютное значение, но противоположные знаки. Если подынтегральная функция чётна по этой переменной, интеграл равен удвоенному интегралу по одной из половинок области интегрирования, поскольку интегралы по каждой из половинок равны.
Пример 1. Пусть функция интегрируется по области кругу радиуса 1 с центром в начале координат.
Используя свойство линейности, интеграл можно разложить на три части:

2sin(x) и 3y3 являются нечётными функциями и, кроме того, очевидно, что диск T симметричен как относительно оси x, так и по оси y. Таким образом, вклад в конечный результат даёт только константа 5.
Пример 2. Пусть функция f(x, y, z) = x exp(y2 + z2) интегрируется по сфере радиуса 2 с центром в начале координат,

"Шар" симметричен по всем трём осям, но достаточно проинтегрировать по оси x, чтобы показать, что интеграл равен 0, поскольку по этой переменной функция нечётна.