To`plam quvvati tushunchasi

To`plam quvvati tushunchasi

---

---

To`plam quvvati tushunchasi.
Agar ikkita chekli to`plam ekviva- lent bo`lsa, ularning elementlari 
soni teng bo`ladi. Agar A va B to`plamlar ekvivalent bo`lsa, u
holda ular bir xil quvvatga ega deyiladi. Shunday qilib, quvvat 
ixtiyoriy ikki ekvivalent to`plamlar uchun umumiylik
xususiyatidir. Chekli to`plamlar uchun quvvat tushunchasi odatdagi 
to`plam elementlari soni tushunchasi bilan ustma-ust tushadi.
Natural sonlar to`plami va unga ekviva- lent to`plam quvvati uchun
ℵ
0

(alef nol deb o`qiladi) belgi ishlatiladi. [0, 1] kesmadagi barcha 

haqiqiy sonlar to`plamiga ekvivalent to`plamlar haqida, ular

kontinuum quvvat ga ega deb gapiradilar. Bu quvvat uchun c yoki ℵ 
simvol ishlatiladi. ℵ
0
va c orasida quvvat mavjudmi degan savol juda 

chuqur muam- mo hisoblanadi. Analizda uchraydigan cheksiz

to`plamlarning deyarli barchasi yoki ℵ
0
, yoki c quvvatga ega. 
Sanoqli to`plamlar. Cheksiz to`plamlar ichida eng soddasi sanoqli
to`plam deb ataluvchilaridir. 


Ta'rif. Agar M to`plam bilan natural sonlar to`plami o`rtasida biyek-
tiv moslik o`rnatish mumkin bo`lsa, M ga sanoqli to`plam deyiladi. 
Boshqacha ta'ri asak, agar M to`plam elementlarini natural sonlar
vositasida a1, a2, . . . , an, . . . cheksiz ketma-ketlik ko`rinishida 
nomerlab chiqish mumkin bo`lsa, M ga sanoqli to`plam deyiladi.

1-xossa. Sanoqli to`plamning ixtiyoriy qism to`plami chekli yoki
sanoqlidir. 


Isbot. Aytaylik A sanoqli to`plam, B esa uning qism to`plami
bo`lsin, ya'ni 𝐴 = {𝑎
1
, 𝑎

2
, . . . , 𝑎

𝑛
, . . . } . A ning B ga tegishli 

elementlari 𝑎

𝑛1
, 𝑎

𝑛2
, . .. lar bo`lsin. Agar 𝑛

1
, 𝑛

2
, . .. sonlar 

ichida eng kattasi mavjud bo`lsa, u holda B chekli to`plam
bo`ladi, aks holda sanoqli to`plam bo`ladi, chunki uning 
elementlari natural sonlar bilan nomerlangan.

2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to`plamlar birlashmasi yana
sanoqli to`plamdir. 

---

---

3-xossa. Har qanday cheksiz to`plam sanoqli qism to`plamga ega.

Isbot. Aytaylik, M cheksiz to`plam bo`lsin. Undan ixtiyoriy

a
1
elementni tanlaymiz. M cheksiz to`plam bo`lgani uchun 

unda a

1
dan farqli a

2
elementni tanlash mumkin, undan keyin 

a
1
va a

2
dan farqli a

3
elementni tanlaymiz, M cheksiz to`plam 

bo`lgani uchun bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin.

M cheksiz to`plam bo`lganligi uchun har bir element
tanlanganidan keyin unda cheksiz ko`p element qoladi. 
Natijada A = {a
1

, a
2

, . . . , a

n

, . . .} sanoqli qism to`plamga ega
bo`lamiz. 

http://fayllar.org