To‘plamdagi munosabat uning xossalari: Refleksiv, antirefleksiv, simmetrik, assimmetrik, antisimmetrik va tranzitiv. Ekvivalentlik munosabatining to‘plamlarni sinflarga ajratish bilan aloqasi. Tartib munosabati Ma’ruza mashg`ulоtini ta’lim

3.Munosabat xossalari.
1-ta’rif. Agar X to‘plamning har bir elementi o’z-o’zi bilan R munosabatda bo’lsa (ya’ni, xRx bajarilsa), uholda R munosabat X to’plamda refleksiv deyiladi.
Masalan, «x = y», «a||b», «x⋮y» munosabatlar refleksivdir.
Refleksiv munosabat grafida har bir element atrofida halqa bo’ladi (2.5-banddagi 2-misol).
2-ta’rif.Agar X to ‘plamning birorta ham elementi uchun xRx bajarilmasa, u holda R munosabat X to ‘plamda antirefleksiv deyiladi.
Masalan, «a < b», «a > b», «a⊥b» munosabatlar antirefleksivdir.
Antirefleksiv munosabat grafida birorta ham halqa bo’lmaydi(2.5-banddagi 1-misol).
3-ta’rif. Agar X to’plamda R munosabat berilgan bo’lib, xRy va yRx bir vaqtda bajarilsa, R simmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «a||b», «a⊥b», «a = b» munosabatlari simmetrikdir. Simmetrik munosabat grafida har bir strelkaga parallel qaytuvchi strelka bo’ladi.
4-ta’rif.Agar X to’plamda berilgan R munosabatda xRy va yRx shartlardan faqat bittasi o ‘rinli bo’lsa, R munosabat asimmetrik munosabatdeyiladi.
Masalan, «a > b», «a < b» munosabatlari asimmetrikdir.
Asimmetrik munosabat grafida birorta ham halqa va qaytuvchi strelkalar bo’lmaydi.
5-ta’rif. Agar X to ‘plamda R munosabat uchun xRy va yRx shartlar faqat x = y bo’lgan holda bajarilsa, u holda R antisimmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, «a>b», «a≤b», «a⋮b», «a soni b sonining bo’luvchisi» kabi munosabatlar antisimmetrik munosabat bo’ladi. Antisimmetrik munosabat grafida halqalar bo’ladi, lekin qaytuvchi strelkalar bo’lmaydi.
6-ta’rif. Agar X to’plamda berilgan R munosabat uchun xRy va yRz ekanligidan xRz ekanligi kelib chiqsa, u holda R munosabat tranzitiv deyiladi.
M asalan,«a>b», «a = b», «a||b», «a⋮b» kabi munosabatlar tranzitivdir. Tranzitiv munosabat grafida x dan y ga, y dan z ga bo- ruvchi strelkalar bo’lsa, albatta x dan zga boruvchi strelka ham bo’lishi kerak (I.16-rasm).
1-ta’rif. Har qanday R munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, u holda R ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Masalan, «a || b», «a = b» kabi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo’ladi.
1-misol. Sinf o’quvchilari orasida «bir oyda tug’ilgan» munosabati berilgan bo’lsin. Bu munosabat refleksiv, chunki har bir A o’quvchi o’zi o’zi bilan bir oyda tugilgan. Munosabat simmetrik, chunki A o’quvchi B bilan bir oyda tugilgan bo’lsa, B ham A bilan bir oyda tugilgan bo’ladi. Munosabat tranzitiv, chunki A o’quvchi B bilan, B o’quvchi Cbilan bir oyda tugilgan bo’lsa, A bilan C ning ham tug`ilgan oyi bir xil bo’ladi. Demak, bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo’lar ekan. U sinf o’quvchilarini «bir oyda tugilgan o’quvchilar» sinflariga ajratadi. Bunday sinflar soni ko’pi bilan 12 ta bo’lishi mumkin.
2-misol. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar to’plamida parallellik munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lishini ko’rsatamiz. Tekislikdagi to’g’ri chiziqlar kesishmasa yoki ustma-ust tushsa, parallel hisoblanishini eslatib o’tamiz.
Parallellik munosabati:

1. 
   refleksiv, chunki ixtiyoriy a to’g’ri chiziq uchun a||a bo’ladi;
   
2. 
   simmetrik, chunki a||b bo’lsa, b||a bo’ladi;
   
3. 
   tranzitiv, chunki a||b va b||c bo’lsa, a||c bo’ladi (parallel to’g’ri
   

chiziqlar xossasiga ko’ra).

3-misol. kasrlar to‘plamida tenglik munosabati berilgan. (18- chizma)

18-chizma

Bu munosabat:

1. 
   Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng;
   
2. 
   Simmetrik, chunki x kasrning y kasrga tengligidan y kasrni x kasrga tengligi ham kelib chiqadi;
   
3. 
   Tranzitiv, chunki x kasrning y kasrga va y kasrning z kasrga tengligidan x kasrning z kasrga tengligi kelib chiqadi.
   

Agar to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda bu munosabat to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar

.

Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plamlarining birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.
4-misol. Z butun sonlar to’plamida aRb ⇔ m | (a - b) munosabatni qaraylik. Bu munosabat Z to’plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi:
_{ } = _{ 
 } = _{ 
 } = _{ 
 } = _{ 
 } = _{ 
 } = _{ 
 } = _{ }


2. Tartib munosabati
Endi tartib munosabatini qaraymiz.
«Tartib» so‘zi kundalik hayotimizda doimo uchraydi. Masalan, jismoniy tarbiya darslarida talabalarning bo‘y-bo‘yiga qarab joylashishi tartibi, o‘zbek alfavitida harflarning kelish tartibi va hokazo.
Ta’rif. Agar to‘plamdagi R munosabat tranzitiv va antisimmetrik bo‘lsa, u holda bu munosabat tartib munosabati deyiladi. to‘plam esa tartib munosabati bilan tartiblangan deb ataladi.
Masalan, to‘plamni «kichik» munosabati yordamida tartiblashtirish mumkin. Boshlang‘ich ta’limning birinchi sinfida o‘quvchilar «katta» va «kichik» munosabatlari bilan keyinchalik esa kesmalar uchun «uzun» va «qisqa» munosabatlari bilan tanishadilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar va kesmalar to‘plamida tartib o‘rnatiladi.
Tartib munosabati qat’iy va noqat’iy tartib munosabatiga bo’linadi va bu bo’linish munosabatning asimmetrik yoki antisimmetrik bo’lishi bilan bog’liq. «Katta» va «kichik» munosabatlari qat’iy tartib munosabati bo’lsa, «katta emas» va «karrali» munosabatlari noqat’iy tartib munosabati hisoblanadi.

1 David Surovski Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s. 200 -bet