To’plamlar nazariyasi

Universal to'plam.

1 - ta ' r i f . Agar A to'plamning hamma elementi B to'plamga ham tegishli bo'lsa, A to'plam B to'plamning qism to^’plami deyiladi va A ko'rinishda yoziladi.

A
Ta'rifga ko'ra, istalgan to'plam o'zining qism to'plami bo'ladi: A A; bo'sh to'plam esa, istalgan to'plamning qism to'plami bo'ladi .
Qism to'plamlar ikki turga bo'linadi:
xos va xosmas qism to'plamlar.
To'plamning o'zi va bo'sh to'plam
xosmas qism to'plam deyiladi. Ulardan

boshqa qism to'plamlar xos qism to’plam deyiladi.
shveytsariyalik matematik, Djon Venn (1834-1923) ingliz matematigi.

Masalan, A to'plamning xos qism to'plamlari: a , b , c , a; b , a; c , b;c ;
Ta’rif. A hamda B to‘plamlarning barcha elementlaridan tusilgan to‘plamni A va B

xosmas qism to'plamlari:
a; b; c va
to‘plamlarning birlashmasi deb ataladi va

dir.

Xulosa: n

to’plamni 2ⁿ

ta elementdan iborat ta qism – to’plamlarga

A ∪ B
kabi yoziladi.

ajratish mumkin. A – to’plamda N A
bo’lgani uchun 2ⁿ bo’ladi.

Agar A
va bo'lsa, A = B
Masalan, A={2; 5; 7} va B={2; 4; 7; 11}

bo'ladi.
Bu xossadan ko'pincha to'plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi. Agar A to'plamning istalgan elementi B to'plamga tegishli ekani va B to'plamning istalgan elementi A to'plamga tegishli ekani isbotlangan bo'lsa, A = B, ya'ni bu to'plamlar tengligi haqida xulosa chiqariladi.
Bundan tashqari, A to'plamning istalgan elementi B to'plamga, B to'plamning istalgan elementi C to'plamga tegishli bo'lsa, A to'plamning hamma elementi
to‘plamlarning birlashmasi
A ∪ B ={2; 4; 5; 7; 11}.
To‘plamlarning birlashmasi quyidagi
xossalarga ega.
1. A ∪ B  B ∪ A.
2. ^A ∪ B^∪ C  A ∪ ^B ∪ C^.
3. A ∪ A  A, A A , A ∪ I  I.
Ta’rif. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan (har ikkalasida ham mavjud bo‘lgan elementlardan) tuzilgan to‘plamga A va B to‘plamlarning kesishmasi

C to'plamga tegishli bo'ladi, ya'ni A
(ko’paytmasi) deb ataladi va
A ∩ B
kabi

va B
bo'lsa, A
bo'ladi.
yoziladi.

2-ta'rif. Agar
A₁, A₂,..., A_n
to'plamlar A

to'plamning qism to'plami bo'lsa, A

to'plam
A₁, A₂,..., A_n
to'plamlar uchun

universal to'plam deyiladi.
Universal to'plam, odatda, I yoki U harflari bilan belgilanadi. Masalan,
N — barcha natural sonlar to'plami;
Z — barcha butun sonlar to'plami;
Q — barcha ratsional sonlar to'plami;
R — barcha haqiq=iy sonlar to'plami


Masalan: A={5; 2; 7} va B={4; 7; 2; 11}
to‘plamlarning kesishmasi A ∩ B ={2; 7}.
Agar A va B to‘plamlarning ikkalasida ham mavjud element bo‘lmasa, u vaqtda

B
bo'lib, N
shartlar bajariladi
bu to‘plamlar kesishmaydi deb ataladi va

va R qolgan sonli to'plamlar uchun ^A
universal to'plam vazifasini bajaradi.

To’plamlar ustida amallar

To‘plamlar orasidagi munosabatlarni yaqqolroq tasavvur qilish uchun to‘plamlar
kabi yoziladi.

doira yoki oval shaklida tasvirlanadi. To’plamlarni bunday tasvirlashni odatda Eyler-Venn diagrammalari deb ataladi. Doira yoki ovalni esa Eyler-Venn doiralari deb ataladi. Eyler (1707-1783)
Masalan: bir xonali sonlar to‘plami bilan ikki xonali sonlar to‘plami kesishmaydi.
To‘plamlarning kesishmasi quyidagi xossalarga ega.

1. A ∩ B  B ∩ A.
C) Qism to’plam D) Cheksiz to’plamdir

2. A ∩ B∩ C  A ∩ B ∩ C.
3. X  _x x  N, x  3_ va Y  _x _x 1_x  2_x  3_  0_

3. 
   A ∩ A  A, A
   

, A ∩ I  A.
bu to’plamlar tengmi?

To‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi

1. 
   X  Y
   
2. 
   X  Y
   
3. 
   Y  X D)
   

quyidagi xossalarga ega.
X  Y

1. A ∪ B ∩ C  A ∪ B∩ A ∪ C.

3. 
   A – ikki xonali sonlar to’plami, B –
   

2. A ∩ B ∪ C  A ∩ B∪ A ∩ C.
ikki xonali juft sonlar to’plami bo’lsa, quyidagilarda qaysi biri to’g’ri.

Ta’rif. A to‘plamning B to‘plamda mavjud bo‘lmagan elementlaridan tuzilgan
A) A  B B) A  B
^{5. A }   ^{ 4}

3. 
   B  A D) B  A
   

^{2 } bo’lsa, quyidagi-

1, 2,3, 4 , B _1, ₂ , 9, 2 _
to‘plamni A va B to‘plamlarning ayirmasi ^{ }

deb ataladi va
A \ B
kabi belgalanadi.
larda qaysi biri o’rinli.

1. 
   A  B B) A  B C) A  B
   
3. 
   A  B
   

6. 
   X to’plam 10 dan kichik tub sonlar
   

to’plami bo’lsa, n_ X _  ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

6. 
   ^{x x  N, 2  x}2 ^{ 43} ^{to’plamning nechta}
   

Masalan, A={5; 2; 7; 6} va B={2; 4; 7; 19;

17} to‘plamlarning ayirmasi A\B={5; 6}. To‘plamlarning ayirmasi quyidagi xossalarga ega.
qism to’plamlari mavjud.
A) 43 B) 16 C) 5 D) 32

6. 
   ^{A } ^{a,b,c, d,e, f}  ^{va B } ^{b, d,e, g, h}
   

to’plamlar berilgan. A
^A) ^{b, d,e} ^B) ^{a,b,c, d,e, f , h}

1. 
   A \ A
   

2. 
   Agar
   

A  B
bo‘lsa, u vaqtda
A \ B

3. 
   ^{c,g, h}
   
4. 
   ^{b, d, f}
   

bo‘ladi. ^{9.
A } ^{a,b,c, d,e, f} 
^{va B } ^{b, d,e, g, h}

3. A\B= A\^A ∩ B^.
to’plamlar berilgan. A

4. A\^B ∪ C^  ( A\B) ∪ ( A\C).
5. A\ B ∩ C  (A\B) ∩ (A\C)=(A\B)\C.
^A) ^{b, d,e} ^B) ^{a,b,c, d,e,g, f , h}

3. 
   ^{a,b,c, d, f , h} ^D) ^{a,b,c, d,e, f} 
   

^10. A  ^x  ²  x  ^{7 }, B  ^x  ¹  x  2^

Ta’rif. A to‘plamning B to‘plamda va B ^
  



4

3 4
  

to‘plamning A to‘plamda mavjud
to’plamlarning kesishmasi toping?

bo‘lmagan elementlaridan tuzilgan to‘plamga shu to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb ataladi va AB kabi
^{A) } ¹  x  ^{7 }

 _{4 4} 
 
^{C) } ²  x  2^{
B) } ²  x  2^

 ₃ 
 
^{D) } ¹  x  2^

belgilanadi.
Masalan: A={5; 2; 7; 9} va B={2; 4; 11; 7;
 

3
 
 

4
 

^11. A  ^x  ²  x  ^{7 }, B  ^x  ¹  x  2^

13} to‘plamlarning simmetrik ayirmasi
AB ={5; 9; 4; 11; 13}.
   

3 4
   ⁴ 

to’plamlarning birlashmasi toping?

² A)
^ ¹  x  ^{7 }


^{B) } ²  x  2^

1. A  _x x  N, x

• 
  ⁷ ^{to’plam 2 dan katta}
  

 _{4 4} 
 ₃ 

bo’lgan barcha natural sonlar to’plamini
 
^{C) } ¹  x  2^
 
^{D) } ¹  x  ^{1 }

tuzing. A) 9 B) 19 C) 32
 ₄ 
 _{4 4} 

   

3. 
   cheksiz to’plamdir.
   

 ^{2 7}   ¹ 