To‘plamlarni akslantirish va almashtirish Bo`sh bo`lmagan ikki, to`plam berilgan bo`lsin. 1-ta`rif

5-ta`rif. lar to`plamning ixtiyoriy ikki almashtirishi bo`lsin, alamshtirish har bir elementni elementga, almashtirish esa elementni elementga o`tkazsin. Ularni ketma-ket bajarilsa, ya`ni element ustida almashtirishni va hosil qilingan obraz ustida almashtirish bajarilsa, natijada ni elementga o`tkazuvchi alamshtirish hosil bo`ladi. alamshtirish almashtirishning ko`paytmasi (yoki kompozitsiyasi) deyiladi va ko`rinishida yoziladi (bunda avval so`ngra bajariladi).



Shunday qilib, almashtirishlarning ko`paytmasi barcha uchun tenglik o`rinli bo`ladigan almashtirishdan iborat. Umuman va turli almashtirishlardir, ya`ni .

Misol. Faraz qilaylik, tekislikni to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtirish, esa shu tekislikni to`g`ri chiziqqa perpendikulyar bo`lgan vektor qadar paralll ko`chirish bo`lsin.

tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo`lsin. Avval almashtirishni bajaramiz. Tekislikni to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetril almashtirish nuqtani nuqtaga o`tkazadi. Tekislikni vektor qadar parallel ko`chirish nuqtani nuqtaga o`tkazadi (75-chizma). Bu almashtirishlarning ko`paytmasi almashtirish nuqtani nuqtaga o`tkazadi.

Endi almashtirishni bajaramiz. Tekislikni vektor qadar parallel ko`chirish nuqtani nuqtaga o`tkazadi. to`g`ri chiziqqa nisbatan simmetrik almashtireish esa nuqtani nuqtaga o`tkazadi, ularning ko`paytmasi, ya`ni tekislikni almashtirish nuqtani nuqtaga o`tkazadi. Demak, bu misolda

Teorema. Almashtirishlarni ko`paytirish assotsiativlik qonuniga bo`ysunadi, ya`ni to`plamning ixtiyoriy uchta almashtirishi uchun har vaqt .

Isbot. to`plamning ixtiyoriy elementi bo`lsin. almashtirishdagi ning obrazi almashtirishdagi ning obrazi almashtirishdagi ning obrazi bo`lsin. U holda almashtirishlarni ko`paytirish ta`rifiga ko`ra almashtirish elementni elementga o`tkazadi, almashtirish elementni elementga o`tkazadi. Shunga ko`ra

bundan esa

ixtiyoriy almashtirish bo`lsin. Unga teskari almashtirish va aynan almashtirish uchun

va tengliklar o`rinli bo`ladi ( buni tekshirishni o`quvchiga havola qilamiz).