Toshkent axborot texnologiyalari universiteti mustaqil ish mavzu: Algoritm murakkabligini statik va dinamik o'lchovlari. Vaqt va xotira hajmi bo'yicha qiyinchiliklar

subeksponensial vaqt ba'zi algoritmlarning bajarilish vaqti har qanday ko'phadga qaraganda tezroq o'sishi mumkinligini ifodalash uchun ishlatiladi, lekin u eksponensialdan sezilarli darajada kamroq bo'lib qoladi. Mavjud algoritmlarning ko’pchilig xotira va tezlik o’rtasida tanlovni taklif qiladi. Masala tez ishlashi va katta xotira egallashi yoki sekin ishlashi va kichik xotira hajmini egallashi mumkin. Bu holatda eng odatiy misollardan biri eng qisqa masofani topish masalasi bo’la oladi. Bunda siz o’zaro bog’liq bo’lgan shahar orasidagi istalgan ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofani topishingiz kerak bo’ladi. Bunda biz barcha nuqtalar orasidagi qisqa masofalarni aniqlab ularni jadval shaklida saqlab qo’yishimiz mumkin. Va biz eng qisqa masofani aniqlashimizga to’g’ri kelganda shunchaki jadvaldan ma’lumotni olib qo’yishimiz mumkin bo’ladi.Natijani shu zahoti olishimiz mumkin, ammo bu juda katta hajm talab qiladi. Masalan biror katta xaritada 10 minglab nuqtalar bo’lishi mumkin va bizning jadvalimiz buning uchun 10 milliarddan ortiq ma’lumotni saqlashiga to’g’ri keladi va bu taxminan 10GB ga yaqin xotirani band etishi mumkin.Ushbu holatdan hajm-vaqt murakkabligi kelib chiqadi. Shunda algoritm vaqt bo’yicha ishlash tezligi yoki hajm bo’yicha ishlash tezligi bilan baholanadi.Biz asosiy e’tiborni vaqt bo’yicha murakkablikka qaratamiz lekin shu bilan birga foydalaniladigan xotira hajmini ham aniq belgilashimizga to’g’ri keladi.Biz algoritmlarni o’zaro baholashimizda ularga kiruvchi ma’lumotni ham e’tiborga olishimizga to’g’ri keladi. Chunki ayni bir saralash algoritmi uchun 1000 ta kiruvchi elementni saralash 1s, 100 000 element uchun esa 4-5 soniya ketadigan bo’lsa, boshqa bir algoritm uchun esa bor-yo’g’i 2 s ketishi mumkin. Bunday sharoitda qaysi algoritm yaxshi ekanini aytish mushkuldir.Umumiy holatda esa algoritmni murakkabligini ayni bir kattalik bilan baholash mumkin bo’ladi. Buni quyidagicha tushunish mumkin: agar algoritmga kiruvchi N ma’lumotlar oshganida algoritmning bajarilish vaqti f(N) funksiya bilan bir xilda ortsa algoritm O(f(N)) murakkablikka ega deyiladi.Keling, yaxshisi A[NxN] matritsaning har bir qatoridagi maksimal elementni topishni ko’rib chiqamiz:

Ushbu algoritmda i o’zgaruvchi 0 dan N-1 gacha o’zgarib kelyapti hamda uning har bir o’zgarishida j o’zgaruvchi ham shu oraliqda o’zgaryapti. Demak bunda jami N*N marta takrorlanish sodir bo’lyapti. Bundan esa f(N) = N*N ga teng bo’ladi va algoritmning murakkabligi O(N*N) ekanligini aniqlashimiz mumkin.Endi algoritmni murakkablik darajasini baholashni ko’rib chiqaylik. Bunda algoritmdagi eng tez o’suvchi qismdan foydalanish kerak bo’ladi.Tasavvur qiling algoritm N^3 + N murakkablikka ega bo’lsin. Bunda biz murakkablikni O(N^3) deb olishimiz yetarli bo’ladi. Chunki bu yerda tez o’suvchi qism bu N^3. Ya’ni +N ta qo’shimcha amalni hisoblashning hojati qolmaydi. Misol uchun N=100 bo’lsin, shunda jami 1000100 ta amal bajariladi va bu N^3 dan atigi 0.01% gagina farq qiladi.Dasturdagi murakkab algoritmlar asosan funksiya va protseduralarda bo’ladi. Keling, buni ko’rish uchun Fast hamda Slow nomli funksiyalar yaratib olaylik va bu funksiyalarning turli xil ko’rinishdagi murakkabligini baholab ko’raylik.

Demak ushbu kodni ko’rib chiqamiz.

Slow funksiyasi O(N^3) murakkablikka ega bo’lib unda ichma ich 3 ta for sikli mavjud: N*N*N. Buni osonlik bilan ko’rish mumkin.
Endi Fast funksiyasini ko’radigan bo’lsak unda ichma-ich 2 ta for sikli mavjud. Ammo ikkinchi siklda biz Slow funksiyasini chaqirganmiz. Bu esa algoritmning murakkabligini yanada oshiradi, ya’ni O(N^2) * O(N^3) = O(N^5).
Both funksiyasida biz ikkala funksiyadan ham foydalandik. Bunda funksiyalar ketma-ket qo’llangani sabab ular ichidan murakkabligi katta bo’lgan funksiya asosiy funksiyaning murakkabligi bo’ladi ya’ni O(N^2) + O(N^5) = O(N^5). Endi berilgan N=100 da algoritmning ishlash vaqtini ko’radigan bo’lsak u quyidagicha:
Demak bu Both funksiyasi 570 soniyadan ko’proq vaqt ishladi. Boshqa xarakteristikadagi mashinada bu ko’p yoki kam bo’lishi mumkin.Xulosa qiladigan bo’lsak oddiy takrorlanish algoritmlarining murakkabligi undagi takrorlanishlarni.Rekursiv funksiyalar bu o’z-o’zini chaqiruvchi funksiyalardir. Rekursiv algoritmlarni baholash juda murakkabdir. Ularning murakkabligini baholash nafaqat ichki foydalanilgan funksiyalar, yana rekursiyaning takrorlanishiga ham bog’liq bo’ladi. Keling oddiy rekursiya misolida faktorialni hisoblash funksiyasini ko’raylik:

Ushbu rekursiv funksiyada ortiqcha sikllar va ortiqcha funksiyalar mavjud emas shuning uchun bu funksiya faqat N marta takrorlanadi va uning murak kabligi O(N) ga teng bo’ladi. Ushbu dasturning ishlash vaqti quyidagicha:

Bundan tashqari rekursiv funksiyalarda rekursiya chuqurligi ya’ni rekursiyaning qancha marotaba takrorlanishi muammosi mavjuddir. Bu esa mashinaning xotira bilan bog’liq muammolariga bog’liqdir.Xulosa o’rnida aytadigan bo’lsak, algoritmlar asosan quyidagicha ko’rinishdagi murakkabliklarda bo’ladi va barcha algoritmlarni baholashimiz uchun mana shu murakkabliklar yetarli bo’ladi:

1. 
   C yoki O(1) - algoritm o’zgarmas vaqtda bajariladi.
   
2. 
   O(log(log(N)))
   
3. 
   O(log(N))
   

4. O(N^C) 0

5. 
   O(N)
   
6. 
   O(N*log(N))
   

7. O(N^C) C > 1
8. O(C^N) C > 1 9. O(N!)
Agar biz ushbu murakkablikni aniqlaydigan bo’lsak:
O(log(N) + N!) = O(N!). Bunda f(N) = N! funksiya f(N) = log(N) funksiyadan ko’ra tezroq o’suvchi. Shuning uchun algoritmning murakkabligini O(N!) deb olishimiz yetarli bo’ladi. Quyida murakkabliklarning turli kiruvchi ma’lumotlardagi bajarilish vaqti keltirilgan:

Xulosa
Bir xil muammoni hal qilishning to'rtta algoritmini ko'rib chiqing, ular qiyinchiliklarga duch keladi va mos ravishda. Aytaylik, ushbu algoritmlarning ikkinchisi parametr qiymati bo'lgan ba'zi bir kompyuterda bajarilishi uchun bir daqiqalik vaqtni talab qiladi. Keyin ushbu to'rtta algoritmni bir xil kompyuterda parametrning turli qiymatlarida bajarilish vaqti taxminan 10,300,000 yil bilan bir xil bo'ladi.Dasturchilar o'z dasturlarini sinashni boshlashganda, ularga bog'liq bo'lgan parametrlarning qiymati odatda kichik bo'ladi. Shuning uchun, dasturni yozishda samarasiz algoritm ishlatilgan bo'lsa ham, u e'tiborga olinmasligi mumkin. Ammo, agar siz bunday dasturni real sharoitlarda qo'llashga harakat qilsangiz, unda uning amaliy foydasizligi darhol namoyon bo'ladi.Kompyuterlar tezligining oshishi bilan u yoki bu algoritmning ishlashi maqbul vaqt ichida bajariladigan parametrlarning qiymati ham oshadi. Shunday qilib, miqdorning o'rtacha qiymati oshadi va shuning uchun tez va sekin algoritmlarning bajarilish vaqtining nisbati oshadi. Kompyuter tezroq ishlaydi, yomon algoritmdan foydalanganda nisbiy yo'qotish katta bo'ladi!

Adabiyotlar:
1. Abramov S.A. i dr. Zadachi po programmirovaniyu.-M.:Nauka, 1988.-224
str.
2. Гуломов С.С. ва бошқалар. Ахборот тизимлари ва технологиялари. Тошкент,
2000
3. Axo A., Xopkroft Dj. Postroyeniye i analiz vychislitelnyx algoritmov.
- M: Mir, 1979 g., 535 s.
4. Virt N.. Algoritmy i struktury dannyx. – Dossa, Xamarayan, 1997.
5. Knut D. Iskusstvo programmirovaniya dlya EVM. Osnovnye algoritmy.-M:
Mir, 2000 g.
6. Kormen T., Leyzerson Ch., Rivest R. Algoritmy: postroyeniye i analiz. M.:
MSNMO, 2001.- 960 s.
7. Lebedev V.I. Vvedeniye v sistemy programmirovaniya. M: Statistika,
1975.
8. Polyakov D.B., Kruglov I.Yu. Programmirovaniye v srede Турбо Пасcал:
Sprav.-metod. posobiye.- M.: Izd-vo MAI, 1992.-576 s.