Trigonometrik funksiyalar 4 Eng sodda trigonometrik tenglamalar sinx=a tenglama 4

Trigonometrik funksiyalar

Trigonometrik funksiyalar qadimgi Gretsiyada astronomiya va geometriyadagi tekshirishlar bilan bog’liq holda paydo bo’ldi. Bizning ramizgacha bo’lgan III asrda Arximed, Appolloniya Pergskogo, Yevklid va boshqalarning ishlarida uchragan bo’lib, trigonometrik funksiyani aniqlanishga to’g’ri burchakli uchburchakning tomonlarini nisbatidan iboratdir. Trigonometrik funksiyalar nazariyasining hozirgi zamon shaklini va umuman trigonometriyani L.Eyler ta’riflagan. U trigonometrik funksiyalarni ta’rifini va hozirgi kundagi belgilashlarni kiritgan. Trigonometrik funksiyalar (grekcha so’z trigonon- «uchburchak» va metreo – «o’lchayman»)-funksiyalarning eng muhim sinflaridan biridir. Trigonometrik funksiyalar qatnashgan tenglamalar trigonometrik tenglamalar deyiladi.

Eng sodda trigonometrik tenglamalar sinx=a tenglama

Bilamizki, har qanday x uchun . Shuning uchun, sinx=a tenglama , ya’ni |a| >1 bo’lganda yechimga ega emas. Aytaylik, |a| ≤ 1 bo’lsin. Aylanada sinusi bo’lgan nuqtalarni belgilaymiz.

Chizmadan ko’rinadiki, sinx=a tenglama |a| < 1da ikkita asosiy yechimga ega. Ular: x₁=arcsina, x₂=π-arcsina
P_α=P_α+2πk , bo’lganligidan x₁=arcsina yechimdan x₁=arcsina+2πk, ,
x₂=π-arcsina yechimdan esa x₂=π-arcsina+2πk yechimlar oilasini hosil qilamiz. Yechimlarni ko’rinishda ham yozish mumkin.
Bu yechimlarni o’xshash ko’rinishga keltirib olamiz:
buyerda lekin, 2k va 2k+1 sonlar da barcha butun sonlarni ifodalagani uchun ularni umumiy bilan almashtirish mumkin:
Shunday qilib, sinx=a tenglama |a| >1 da yechimga ega emas, |a| ≤ 1 da esa
yechimlari formula bilan beriladi.
Misol. 1) tenglamaning yechimi

Sinx=0 tenglamaning yechimi aylananing ikkita nuqtasidan iborat: x=πn,
Sinx=siny tenglamani qaraylik. Bevosita sinx=a tenglamaning yechimidan
Sinx=siny  , hosil bo’ladi.
Misol. Sinx=sin3x tenglamani yeching. Formulaga ko’ra, Lekin, bo’lganda tenglama