Turli foizlarni hisoblash va ularni qishloq xo‘jalik masalalarini echishga tatbiqlari. Oddiy foiz masalalarini yechish

Birinchi ajoyib limit.
Ajoyib limitlar.

Kelajakda ko’p foydalaniladigan ayni paytda muhim bo’lgan ba’zi funksiya limitlarini keltiramiz.

1. Agar x radian o’lchovi bilan berilgan bo’lsa, munosabat o’rinli, ya’ni funksiyaning dagi limiti х ning 0 ga intilish qonuniga bog’liq emas. Shuning uchun ga – birinchi ajoyib limit deyiladi.
Ravshanki, oraliqda olingan iхtiyoriy х larda tengsizliklar o’rinli.
Endi tengsizliklarni ga bo’lib, va undan .
va da larni e’tiborga olsak, munosabat o’rinli bo’ladi.
Demak, iхtiyoriy da . Bundan tengsizlik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.


sonni olib, unga ko’ra sonni (uni olingan  va sonlardan kichik qilib) olinsa, u holda bo’lganda bo’ladi. Bu esa bo’lishini bildiradi.

dan quyidagi tengliklarning to’g’riligini isbotlash qiyin emas:

2 . tenglik o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.

Argument va funksiya orttirmalari.
y= f(x) funksiya x va x₁ nuqtalarda aniqlangan bo’lsin. x₁ – x ayirma argumentning x₁ nuqtadagi orttirmasi, f(x₁) - f(x₂) ayirma esa funksiyaning x₁ nuqtadagi orttirmasi deyiladi.
Argument orttirmasi Δx, funksiya orttirmasi Δf yoki Δy ko’rinishda belgilanadi. Demak, Δx = x₁ – x, bundan x₁= x + Δx;
Δf = f (x₁) – f(x) = f (x + Δx) – f (x)
1-misol: y = x³ funksiyaning argument qiymati x dan x + Δx ga o’tgandagi orttirmasi toping.
Yechish: f(x) = x³, f ( x + Δx) = (x + Δx)³
Demak, Δf= f (x +Δx) – f (x) = (x+ Δx)³ – x³= x³ + 3x² Δx + 3 · x · (Δx)² + (Δx)³ – x³ = 3 x² Δx + 3 xΔx² + (Δx)³ . Shunday qilib,
Δf=(3x²+3x Δx+( Δx) Δx
Bu formuladan foydalanib x va Δx ning ixtiyoriy berilgan qiymatlari uchun f ning qiymatini hisoblash mumkin. masalan, x = 2, Δx=0,1 bo’lganda Δf = f (2,1) – f (2) = (3 · 2² + 3 · 2 · 0,1 + 0,1²) 0,1 = 1,261
2 – m i s o l. y = kx +b chiziqli funksiya uchun k = _{ } tenglik o’rinli bo’lishini isbotlang.
I s b o t . f (x) = kx + b; f (x + Δ) = k (x + Δ x) + b;
Δf = f (x + Δx) - f(x) = k (x +Δx) + b – (kx+b) = kΔx
Bundan _{ }= k
ekani kelib chiqadi.
Isbotlangan tenglikning geometrik ma’nosi chizmada keltirilgan.
y = f (x) funksiya x nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o’z ichiga oluvchi yetarlicha kichik radiusli oraliqqa aytiladi).
Δx – argumentning shunday orttirmasiki, x + Δx nuqta x nuqtaning atrofiga tegishli bo’ladi; Δf esa funksiyaning shu orttirmaga mos orttirmasi, ya’ni Δf = f(x+Δx)-f(x) bo’lsin.
Agar funksiya Δf orttirmasining argumentning Δx orttirmasiga bo’lgan nisbatning argument orttirmasi nolga intilgandagi limiti mavjud bo’lsa, y = f (x) funksiya x nuqtada differensialanuvchi funksiya deyiladi. Bu limitning qiymati y = f(x) funksiyaning x nuqtadagi hosilasi deyiladi va f ‘(x), Y’ ko’rinisda belgilanadi, ya’ni
f’(x) = y’ = _{ }
bu yerda f’(x) yangi funksiya bo’lib, yuqoridagi limit mavjud bo’lgan barcha nuqtalarda aniqlangan;
bu funksiya y = f (x) funksiyaning h o s i l a s i deb ataladi.
1 – m i s o l. agar f (x) = x² bo’lsa f’(2) ni toping.
Y e c h i s h: 11 f (2) = 2² = 4, f (2+Δx) = (2 + Δx)², Δf = f (2 + Δx)² – 4 = 4 Δ x + (Δx)².
_{ }
yoki
_{ }
demak, f’(2)=4
Xuddi shunga o’xshash f’(x)= 2x bo’lishini ko’rsatish mumkin.