Tushunchasi

R E J A:

1. 
   Kompleks sonlar va ular ustida amallar.
   

2. 
   2.1. Kompleks sonning logarifmi.
   

2. 
   Soha tushunchasi.
   

2. 
   Jordan chizig‘i.
   

2. 
   Stereografik proyeksiya.
   

3. 
   Kompleks o‘zgaruvchining funksiyalari va ularning aniqlanish sohasi.
   

1. 
   1-ta‟rif. Kompleks son deb x+iy ko‘rinishdagi ifodaga aytiladi, bunda x va y –
   

haqiqiy sonlar, i – mavhum birlik; i  kompleks sonlarni z harfi bilan

belgilaymiz, ya’ni
z  x  i y, x – kompleks sonning haqiqiy qismi,
i  y - kompleks

sonning mavhum qismi, y – mavhum qismining koeffitsiyenti deyiladi. x va y lar quyidagicha belgilanadi:
x  Re z, y  J m z

2. 
   ta‟rif. Agar
   

x₁  x₂ ,
y₁  y₂
bo‘lsa,
z₁  x₁  i y₁ , z₂  x₂  i y₂ - ikki kompleks son

o‘zaro teng, ya’ni
z₁  z₂
deyiladi.

2. 
   ta‟rif.
   

deyiladi.
z  x  i y va
z  x i y
kompleks sonlar qo„shma kompleks sonlar

Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometric formasini ko‘ramiz. To‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasidagi har bir (x, y) nuqtaga bitta
x  i y kompleks sonni mos keltiraylik. Umuman shu usulda har bir kompleks
songa tekislikda bitta nuqta mos keladi va aksincha tekislikdagi har bir nuqtaga bitta kompleks son mos keladi. Abssissa o‘qi haqiqiy sonlarning geometrik o‘rni, ordinata o‘qi mavhum iy sonlarning geometric o‘rni bo‘ladi. Shuning uchun absississalar o‘qi haqiqiy o‘q, ordinatalar o‘qi mavhum o„q deyiladi.
y


x
1-rasm
Tekislikning har bir (x, y) nuqtasiga koordinatalar boshidan chiqqan, oxiri shu nuqtada bo‘lgan vektorni mos keltirish mumkin. Shuningdek, har bir (x+iy) kompleks songa koordinatalar x va y bo‘lgan OM vektor mos keltiriladi.

1-rasmgaga asosan: r 
x²  y ² ,
tg   ^y ,
x
  arctg ^y ,
x
x  r cos ,
y  r sin .

Unda
z  x  i y  r cos  i r sin  r cos  i sin, yoki
z  r cos  i sin


(1)

bunda r – kompleks sonning moduli, ya’ni
r  z
,  - uning argumenti
  Ar g z .

(Agar
  Ar g z 
bo‘lsa, unda Argz=argz bo‘ladi argz – bosh argument

deyiladi). (1) formula – kompleks sonning trigonometrik formasi deyiladi. Agar

Eyler formulasini
_ei 
 cos  i sin
e’tiborga olsak, unda
z  r e^i

2. 
   kompleks sonning ko„rsatkichli formasi deyiladi.
   

1. misol.

z  l  i
trigonometrik formaga keltirilsin.

Yechish.

x 1,
y 1, r 



^{z  2}  ^{cos }

 i sin ^
tg  1  / 4 . Demak



_ 4 4 _

2. 
   misol. z 1 son trigonometrik formaga keltirilsin.
   

Yechish.

x 1,
y  0, r 
1,
tg   0,   ,
z  cos   i sin .

1. 
   qo‘shish va ayirish.
   

z₁  x₁  i y₁ ,
z₂  x₂  i y₂

Kompleks sonlar ustidagi amallar.

z₁  z₂
x₁  i y₁ x₂  i y₂ x  x₂  i y  y₂ 

2. 
   

1

1
Demak, kompleks sonlar qo‘shilganda (ayrilganda) ularning haqiqiy qismlari alohida va mavhum qismlari alohida qo‘shiladi (ayriladi). Kompleks sonlarni qo‘shish va ayirish vektorlar qo‘shilishi va ayrilishiga mos bo‘ladi (2-rasmga qarang).

z₂  z₁
2-rasm
- kompleks sonlar ayirmasining moduli.

2. 
   ko‘paytirish va bo‘lish.
   

z₁  x₁  i y₁ ,
z₂  x₂  i y₂

1. 
   
   1
   
   1
   z₁  z₂ x₁  i y₁ x₂  i y₂ x₁
   

x₂  y₁ y₂
 i x
y₂  x₂
y  .

Agar kompleks sonlarni trigonometrik formada olsak, unda
z₁  z₂  r₁ cos ₁  i sin₁  r₂ cos ₂  i sin₂  r₁ r₂ cos ₁ cos ₂  sin₁ sin₂ 

 i sin₁ cos ₂  cos ₁ sin₂    r₁ r₂ cos ₁ ₂  i sin ₁ ₂  , z₁  z₂  r₁ r₂ cos ₁ ₂  i sin ₁ ₂ 
yoki

1

1

2

1
Demak, kompleks sonlarni ko‘paytirishda modullari ko‘paytiriladi, argumentlari

esa qo‘shiladi.
z  r e^i1,
z₂  r_2
ei 2 _,
z₁  z₂
 r₁ r_2
ei1 _ei 2 _{ r
r e}i 1  2  _;

z  r e^i1 ,
z  r
_ei_{2 ,}
z  z
 r r e^i1 e^i2  r
_{r e}i ₁  ₂ 

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

2. 
   z_{1 } x₁  i y_{1 } x₁  i y₁ x₂  i y₂  _ x₁ x₂  y₁ y₂  i x₂ y₁  x₁ y₂  _
   

z x  i y
x  i y
x
 i y 
x²  y ²

^{2 2 2 2 2 2 2} 2 2

_ x₁ x₂  y₁ y_{2  i} x₂ y₁  x₁ y_{2 . Agar}
z va
z trigonometrik formada berilgan bo‘lsa,

x²  y²
_x2 _{ y}2 1 2

2 2 2 2

1
z ^{r e}i  1 r r

unda
1 _ ¹
_ 1 _e^{i 1 2 } _
¹ cos  
 i sin   

^z2 r_2
ei ₂₁
r₂ r₂
^z1  ^r1 cos  
2 1 2



1 2

1 2
 i sin   


(5)

z₂ r₂
Demak, kompleks sonlarni bo‘lishda ularning argumentlari ayriladi, modullari bo‘linadi.

3. 
   darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish.
   
   1. 
      z  r e^i , kompleks sonini n–darajaga ko‘taraylik ^{zn  r ei }n ^{ rn ein} , yoki
      

zⁿ  r ⁿ cos n  i sinn
(6)

Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sonni darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tariladi, argument darajaga ko‘paytiriladi.
Agar (6) da r=1 bo‘lsa ^{r cos  i sinn  cos n  i sin} Muavr formulasi hosil bo‘ladi.

2. 
   z  r e^i , kompleks sonini n–darajali ildizi w bo‘lsin, ya’ni
   

 w   e^i ,
z  wⁿ   ⁿ cos n  i sin n ,
r cos   i sin   ⁿ cos n  i sin n 

r   ⁿ ,
n   2 k  ,
  ⁿ z ,
_{ }   2 k  _,
n
ya' ni



_ n
_   2 k    2 k  _
r cos i sin


(7)

_{ n n} _




3-misol.

? 88cos   i sin , chunki r 
8,
  .

Yechish.

^{ 2} ^cos
  2 k  _{ i sin}   2 k 
^ k  0, 1, 2 , bo‘lganda

^1 i
_ n n _


 _ 2


_1 i

2. 2.1.

z  r cos  i sin r e^i


kompleks son berilgan bo‘lsin.

_{z  r e}i   2k   _{ r e}i
ln z ln r e^i ln r  i i ne l nr  i _{, ya’ni}
ln z ln r i
ln z l nr  i  2 i

1. 
   misol. z=-1 ning logarifmini toping.
   

(1)
(2)

Yechish.

z 1cos  i sin ;
r 1,
 

ln z  ln1 i   i 
ln z  i   2 k  i  i  1 2 k , k  0,

1,  2,...

2. 
   Kompleks sonlar tekisligi (Z) da biror E to‘plam berilgan bo‘lsin.
   

1 - ta‟rif. z – nuqtaning kichik atrofi deb, markazi z nuqtada bo‘lgan yetarli kichik radiusli doiraga tegishli nuqtalar to‘plamiga aytiladi.

2 - ta‟rif. Agar z nuqtaning kichik atrofidagi barcha nuqtalar to‘plamga tegishli bo‘lsa z nuqta E to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi.
3 - ta‟rif. Agar z nuqtaning kichik atrofidagi nuqtalarning ba’zilari E ga tegishli, ba’zilari tegishli bo‘lmasa, u E ning chegaraviy nuqtasi deyiladi.

3-rasmda
z₁ - ichki,
z₂ - chegaraviy,
z₃ - tashqi nuqtalardir.

2. 
   misol. a) E : z
   

b) E : z


1,
1,

3. 
   rasm
   

x²  y ² 1 — aylana ichki nuqtalari to‘plami.
x²  y² 1 — aylana nuqtalari to‘plami.

Agar quyidagi ikki shart bajarilsa:

1. 
   E – to‘plam faqat ichki nuqtalardan iborat bo‘lsa;
   
2. 
   E – to‘plamning har qanday ikki nuqtasini birlashtiruvchi uzluksiz chiziqning barcha nuqtalari E ga tegishli bo‘lsa, tekislikdagi nuqtalar to‘plami (E) — soha deyiladi.
   

Agar soha chegarasidagi har qanday nuqta atrofida shu sohaning hech bo‘lmaganda bitta nuqtasi mavjud bo‘lsa, shu nuqta chegaraviy nuqta deyiladi. Chegaraviy nuqtalari o‘ziga tegishli bo‘lmagan E soha ochiq soha, chegaraviy nuqtalari o‘ziga tegishli bo‘lgan soha yopiq soha deyiladi.