Учебно-методическое пособие для студентов Москва 2010 Пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, прово
Download 0.59 Mb. Pdf ko'rish
|
Vectors AG
|
10. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Канонические, параметрические уравнения прямой и прямой, проходящей через две точки, в пространстве получаются аналогично плоскому случаю (см. п.8). Канонические уравнения прямой в пространстве: n z z m y y l x x 0 0 0 − = − = − , где М
0 (
0 ;
0 ;
0 ) – начальная точка, s={ l;m ;
} – направляющий вектор.
Параметрические уравнения прямой в пространстве: λ + = λ + = λ + = , , , 0 0 0 n z z m y y l x x где М
0 (
0 ,
0 ;
0 ) – начальная точка, s={ l ;
;
} – направляющий вектор. Уравнение прямой, проходящей через точки A (
a
a
a ) и
B (
b
b
b ), имеет
вид a b a a b a a b а z
z z y y y y x x x x − − = − − = − − . Общие уравнения прямой в пространстве . Зададим прямую, как пересе- чение двух плоскостей: 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0.
B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = Данные уравнения называют- ся общими уравнениями прямой. Переход
от
общих
уравнений к
каноническим
и
параметрическим
Пусть
заданы общие уравнения прямой 1 1 1 1 2 2 2 2 0, 0.
B y C z D A x B y C z D + + + = + + + = Чтобы написать канонические и параметрические уравнения нужно знать начальную точку и направляющий вектор. Найдем две точки A и B принадле- жащие нашей прямой. Для нахождения точки, следует в общих уравнениях прямой одну из переменных положить равной какой-нибудь константе, а две оставшиеся неизвестные найти, решив получившуюся систему двух уравнений с двумя неизвестными. Одну из найденных точек надо взять в качестве началь- ной, а в качестве направляющего вектора взять вектор AB. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
36 Пример 11. Найти канонические уравнения прямой
= + + − = − + − . 0 1 3 2 , 0 2 2
y x z y x
Решение. Найдем две точки, принадлежащие нашей прямой. Положим x =0, тогда ( )
− = − = ⇔ − = − = ⇔ = + + − − − = ⇔ = + + − = − + − . 5 , 7 . 5 , 2 . 0 1 3 2 2 , 2 . 0 1 3 2 , 0 2 z y z z y z z z y z y z y
Найденная точка А(0;-7;-5) принадлежит нашей прямой. Найдем другую точку В, положив y= 0:
( ) ⇔ − = − = ⇔ − − = − = ⇔ − − = = − + − − ⇔ = + + = − + . 4 , 3 ; 8 , 0 . 1 3 ; 8 , 0 . 1 3 , 0 2 1 3 2 . 0 1 3 , 0 2 2
z z x z z x z z z x z x
В(-3,4;0;-0,8). Направляющим вектором прямой является вектор АВ={-3,4;7;4,2}. Напишем канонические уравнения прямой, взяв в качестве начальной – точку А(0;-7;-5): . 2
4 5 7 7 4 , 3 + = + = − z y x
Угол между прямыми. Косинус угла ϕ между прямыми ; :
1 1 1 1 1 1 n z z m y y l x x s − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 : n z z m y y l x x s − = − = − вычисляется по формуле аналогичной для плоского случая (см.п.8): 2 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 cos
n m l n m l n n m m l l + + + + + + = ⋅ = ϕ
s s s
Признаки параллельности и перпендикулярности прямых Признак параллельности прямых. Прямые ; :
1 1 1 1 1 1 n z z m y y l x x s − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 : n z z m y y l x x s − = − = − параллельны ⇔ когда коллинеарны направляющие векторы s
={l 1 ;m 1 ;n 1 } и s 2 ={l 2 ;m 2 ;n 2 }
2 1 2 1 2 1 n n m m l l = = . Признак перпендикулярности прямых. Прямые ; : 1 1 1 1 1 1 1 n z z m y y l x x s − = − = − 2 2 2 2 2 2 2 : n z z m y y l x x s − = − = − перпендикулярны ⇔ когда перпендикулярны направляющие векторы s 1 ={l 1 ;m 1 ;n 1 } и s 2 ={l 2 ;m 2 ;n 2 }
s 1 s 2 =0;
⇔ l 1
2
1
2
+n 1
2 =0. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
37 11. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол ϕ между пря- мой и ее проекцией на плоскость. Угол между нормалью плоскости и направляющим вектором прямой γ равен 90+ ϕ или 90-ϕ (рис. 30). Синус угла ϕ равен модулю косинуса γ и вычисляется по формуле . sin 2 2 2 2 2 2 n m l C B A Cn Bm Al + + + + + + = ⋅ = ϕ
n s n
Взаимное расположение прямой и плоскости Рассмотрим плоскость, заданную общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, и прямую, заданную каноническими уравнениями n z z m y y l x x 0 0 0 − = − = − . Пря- мая может пересекать плоскость, быть ей параллельна, принадлежать плоско- сти. Прямая параллельна плоскости, если вектор нормали плоскости n={A;B;C} перпендикулярен направляющему вектору прямой s={l;m;n}, т.е. n ⋅⋅⋅⋅s=0 ⇒ Al+Bm+Cn= 0.
Прямая перпендикулярна плоскости, если вектор нормали плоскости n={A;B;C} коллинеарен направляющему вектору
прямой s={l;m;n}, т.е.
A B C l m n = = .
Прямая принадлежит плоскости, если вектор нормали плоскости n={A;B;C} перпендикулярен направляющему вектору прямой s={n;l;m}, и на- чальная точка прямой М 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) принадлежит плоскости, т.е. An+Bl+Cm=0 и Ax 0
0
0 +D=0. Если прямая не параллельна плоскости и не принадлежит ей, то она ее пе- ресекает. Для того чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости нужно ϕ 90
s n π
Рис. 30
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
38 решить систему уравнений − = − = − = + + + . , 0 0 0 0
z z m y y l x x D Cz By Ax
При решении
системы
следует
перейти
от
канонических
уравнений прямой
к
параметрическим , под - ставить
выражения
для
x, y, z в
уравнение
плоскости , из
получившегося
урав - нения
найти
параметр
, а
затем x, y, z. Пример 12.
При каких
значениях
А
и y 0
4 2 3 2 1 0 + = − = − z y y x
принадлежит плоскости
0
, 3 3 = − + − z y Ax . Решение. Выпишем
условия
, при
которых
прямая
принадлежит
плоскости ( см . выше
): − = = ⇔ = − − − = + − . 1 ; 5 , 2 . 0 5 , 3 2 3 , 0 4 9 2 0 0
A y A A
Пример 13. Написать
уравнение
плоскости , проходящей
через
прямую
+ − = + = − = . 5 , 3 2 , 1 3
z t y t x
и точку
А (1;2;3). Решение.
Найдем две
точки
, принадлежащие
нашей
прямой
. Для
этого
вычислим
координаты x, y, z при
двух
произвольных
значениях параметра t. При
t=0: = ⇒ = − = . 5 , 3 , 1 z y x
В (-1;3;5). При
t=1: = ⇒ = = . 4 , 5 , 2 z y x
С (2;5;4). Напишем
уравнение
плоскости , проходящей
через
три
точки
А, В, С ( см
п .10,
с .25):
( ) ( ) ( ) ; 0 3 7 2 4 1 5 0 1 3 1 2 1 2 3 2 1 0 3 4 2 5 1 2 3 5 2 3 1 1 3 2 1 = − − − + − − ⇔ = − − − − ⇔ = − − − − − − − − − −
y x z y x z y x 0 18 7 4 5 = + − + z y x –
уравнение
искомой плоскости . Задачи к разделам 10-11 101) Написать
уравнение
прямой
, проходящей
через
точки
(2,3, 4), I
(4, 2,0). J −
102) Написать
уравнение
прямой
, проходящей
через
точку
( 3, 2, 1) H − − парал
- лельно
вектору
{ 2, 4, 6}. s = −
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
39 103) Написать
уравнение
прямой
, проходящей
через
точку
(7, 3, 0)
Y −
перпен - дикулярно плоскости 4 2
7 0
y z + − + = , и
найти
их точку
пересечения . 104)
Написать
уравнение прямой
, проходящей
через
точку
(0, 2,
3) A −
парал - лельно плоскостям
3
7 0
y z − + − = и 5 2 3 0 x y z + + + = . 105)
Написать
уравнение плоскости , проходящей через
прямую
2 3 4 2 3 4 x y z + − + = = −
параллельно прямой
{ 2 7 0, 3 0. y z x z π − + = + =
106) Написать
уравнение плоскости , проходящей через
точку
( 1, 3, 5) B −
пер - пендикулярно прямой
4 2 3 5 1 2 x y z − − + = = − − . 107) Найти
угол
между
прямой
1 3 3 4 2 x y z + − = = − и
плоскостью
3 4 1 0
x y z − +
− − = ,
определить
точку их
пересечения . 108) Найти
угол между
прямой
: (
(2, 3, 1),
(4, 0, 2))
MN M N − − и
плоскостью
5 2 0
z − +
+ = , определить
точку
их
пересечения . 109) Дан
параллелепипед : (3,
1, 0), ABCDA B C D A ′ ′ ′ ′
−
(2, 4, 3), B −
( 4, 1, 2), B′ −
(0, 2, 1)
− .
уравнения
граней
, ребер
, высот
. Найти
все
верши
- ны , основания
высот . Вычислить
углы
между
гранями
, между
ребрами
, между
ребрами
и
гранями , высоты . Download 0.59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|