Учебно-методическое пособие для студентов Москва 2010 Пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, прово


Download 0.59 Mb.
Pdf ko'rish
bet6/13
Sana09.12.2020
Hajmi0.59 Mb.
#162751
TuriУчебно-методическое пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
Vectors AG


={x-x

0

;y-y



0

и



 s={l;m

были


 

коллинеарны

Выпишем


 

признак


 

коллинеарности

 

векторов


:

m

y

y

l

x

x

0

0



=



Уравнение

 

m

y

y

l

x

x

0

0



=



 

называется

 

каноническим



 

уравнением

 

прямой


Точка


 

М

0



(x

0

,  y



0

называется



 

начальной

 

точкой


а

 



вектор

  s={l;m}  – 

направляю

-

щим



 

вектором


Замечание



Если


 

прямая


 

параллельна

 

одной


 

из

 



осей

 

координат



то

 



одна

 

из



 

координат

 

направляющего



 

вектора


 

равна


 

нулю


В

 



этом

 

случае



 

один


 

из

 



знамена

-

телей



 

в

 



каноническом

 

уравнении



 

равен


 

нулю


Такая


 

запись


 

допускается

 

и

 



по

-

нимается



 

как


 

параллельность

 

одной


 

из

 



осей

 

координат



Параметрические



 

уравнения



 

прямой


Левая


 

и

 



правая

 

части



 

канониче


-

ского


 

уравнения

 

равны


 

переменной

 

величине


которую


 

обозначим

 

через


 

λ: 


λ

=



=



m



y

y

l

x

x

0

0



Выразим


 

переменные

 

и

 y 



через

 

λ: 





λ

+

=



λ

+

=



.

,

0



0

m

y

y

l

x

x

  

М



0

(x

0

;y



0



s={l;m





М



(x;y

Рис


. 20 



УРАВНЕНИЕ

 

ПРЯМОЙ


 

НА

 

ПЛОСКОСТИ

 

 

22 



Уравнения

 



λ



+

=

λ



+

=

m



y

y

l

x

x

0

0



,

называются

 

параметрическими



 

уравнениями

 

пря


-

мой


где


 

λ– 


параметр

, 

М

0

(x



0

,  y

0

)  – 


начальная

 

точка



,  s={l;m}  – 

направляющий

 

вектор


.

 

Уравнение



 

прямой


проходящей



 

через


 

две


 

точки


  

Задача


 9. 

Даны


 

точки


 A(x

a

y



a

и



 B(x

b

y



b

). 


Написать

 

уравнение



 

прямой


 

АВ



Решение

. 

Для


 

того


 

чтобы


 

написать


 

уравнение

 

прямой


 

достаточно

 

знать


 

начальную

 

точку


 

и

 



направляющий

 

вектор



В

 



качестве

 

начальной



 

точки


 

можно


 

взять


 

одну


 

из

 



точек

 

А



 

или


 

В



В

 

качестве



 

направляющего

 

вектора


 

возьмем


 

АВ

={x

b

-x



a

y

b

-y



a

}. 


Уравнение

 

прямой



проходящей

 

через


 

точки


 A

(x

a

; y



a

) 

и

 B

(x

b

; y



b

), 

имеет

 

вид



 

а

b



a

a

b



а

y

y

y

y

x

x

x

x



=



Уравнение



 

прямой


 

в

 

отрезках

 

на

 

осях

 

Рассмотрим

 

уравнение



 

прямой


проходя


-

щей


 

через


 

точки


 

А

(



а

; 0) 


и

 

В



(0; b)  

(

рис



. 21), 

расположенные

 

на

 



осях

 

координат



: 

1

;



0

0

0



=

+



=





b



y

a

x

b

y

a

a

x

.  

Уравнение

 

прямой


 

в

 



отрезках

 

на



 

осях


 

имеет


 

вид


 

1

=



+

b

y

a

x

где



 a 

и

 b 



отрез

-

ки



отсекаемые

 

прямой


 

на

 



осях

 0x 

и

 0y 



соответственно

Уравнение



 

прямой


 

с

 

угловым

 

коэффи


-

циентом


Рассмотрим

 

каноническое



 

уравнение

 

прямой


проходящей

 

через


 

точку


 

В

(0;b



с

 

еди



-

ничным


 

направляющим

 

вектором


  e  (

рис


.  22). 

Координатами

 

единичного



 

вектора


 

являются


 

направляющие

 

косинусы


т

.



е

е



={cos

α;cosβ}, 

0

90

,



β =

− α  


(

)

0



cos

cos 90


sin

β =


− α =

α . 


Следовательно

е



={cos

α;  sinα}. 

Кано

-

е



={cos

α; sinα}. 

А

(

а



;0) 



В



(0;b

Рис


. 21 



В



(0;b

α 

α 



β 

Рис


. 22 

УРАВНЕНИЕ

 

ПРЯМОЙ


 

НА

 

ПЛОСКОСТИ

 

 

23 



ническое

 

уравнение



 

имеет


 

вид


 

α



=

α



sin

cos


0

b

y

x

Выразим



 

из

 



уравнения

  y

sin

;

tg



.

cos


y

x

b

y

x

b

α

=



+

=



α ⋅ +

α

 



Обозначим

  tg


α=k

Уравнение

 

прямой


 

примет


 

вид


 y=kx+b.  

Уравнение

 

прямой


 

с

 



угловым

 

коэффициентом



 

имеет


 

вид


  y=kx+b

где



  k–

угловой


 

коэффициент

 

равный


 

тангенсу


 

угла


 

наклона


 

прямой


 

к

 



оси

 

0x, b – 

отре

-

зок



отсекаемый

 

прямой


 

на

 



оси

 0y. 

Замечание

Прямая


 x=b 

параллельна

 

оси


 0y, 

наклонена

 

к

 



оси

 0 

под

 

углом



 

90

0



тангенс


 

которого


 

неопределен

следовательно



такая


 

прямая


 

не

 



может

 

быть



 

описана


 

уравнением

 

с

 



угловым

 

коэффициентом



Уравнение



 

прямой


проходящей



 

через


 

точку


 

М

0



(x

0

, y



0

перпендикулярно



 

вектору


 

n={A;B} (

рис


. 23) 

Вектор


 n 

перпендикулярный

 

к

 



прямой

 

называется



 

вектором


 

нормали


Возьмем


 

про


-

извольную

 

точку


 

М

(xy), 



принадлежащую

 

нашей



 

прямой


Для


 

того


 

чтобы


 

точка


 

М

 



находилась

 

на



 

прямой


   

необходимо

 

и

 



достаточно

чтобы



 

векторы


 

М

0



М

={x-x

0

;y-y



0

и



 n={A;B

были


 

перпендикулярны

Выпишем


 

признак


 

перпендикулярности

 

векторов


0

0



0

0;

(



)

(

)



0.

A x

x

B y

y

⋅ =


+



=

M M n

 

Уравнение



 

прямой


проходящей

 

через


 

точку


 

М

0



(x

0

;  y



0

перпендикулярно



 

вектору


 n={A;B}, 

имеет


 

вид


 A

(x-x

0

)+B(y-y



0

)=0. 


Общее

 

уравнение



 

прямой


. 

В

 



уравнении

 

прямой



проходящей

 

через


 

точку


 

М

0



(x

0

y



0

перпендикулярно



 

вектору


 n={A;B}  A(x-x

0

)+B(y-y



0

)=0 


раскроем

 

скобки



 

и

 



переобозначим

 

комбинацию



 

констант


:  Ax+By-

А

x

0

-

В

y

0

=0; 


С

=-

А

x

0

-

В

y

0

;⇒  


Ax

+By+

С

=0. 


Полученное

 

уравнение



 

называется

 

общим


 

уравнением

 

прямой


Общее


 

уравнение

 

прямой


 

имеет


 

вид


  Ax+By+

С

=0, 



где

 

А



В

  – 



координаты

 

вектора



 

нормали


 n={A;B}. 

М

0



(x

0

;y



0



n={A;B} 





М



(x;y

Рис


. 23 

УРАВНЕНИЕ

 

ПРЯМОЙ


 

НА

 

ПЛОСКОСТИ

 

 

24 



Угол

 

между


 

прямыми


Признаки


 

коллинеарности



 

и

 

перпендикулярности

 

прямых


 

Определение



.

 

Углом



 

между


 

двумя


 

прямыми


 

называется

 

меньший


 

из

 



углов

которые



 

они


 

образуют


.  

Рассмотрим

 

прямые


заданные


 

различными

 

видами


 

уравнений

Прямые


 

заданы


 

уравнениями



 

с

 

угловыми

 

коэффициентами



 s

1

y=k



1

x+b

1

s



2

y=k

2

x+b

2



Угол

 

между



 

прямыми


 (

рис


. 24) 

равен


  

ϕ=α


-

α



1

 

и



следовательно

(

)



2

1

1



2

2

1



1

2

1



2

1

tg



tg

1

tg



tg

tg

tg



k

k

k

k

+



=

+



=

=



ϕ

α

α



α

α

α



α

.  


Чтобы

 

величина



 

угла


 

не

 



зависела

 

от



 

нумерации

 

прямых


выражение

 

для


 

тангенса


 

нужно


 

брать


 

по

 



модулю

Тангенс



 

угла


 

между


 

прямыми


    s

1

:  y=k



1

x+b

1

;  s



2

:  y=k

2

x+b

2

 



вычисляется

 

по



 

формуле


 

2

1



1

2

1



tg

k

k

k

k

+



=

ϕ

.



 

Из полученной формулы следуют признаки параллельности и перпендику-

лярности прямых. 

Прямые параллельны, если угол между ними равен 0

о

, тангенс нуля равен 



нулю, следовательно, k

1

=k

2



Признак параллельности.



 Прямые s

1

y=k



1

x+b

1

s



2

y=k

2

x+b

2

 параллельны 



⇔ когда равны угловые коэффициенты, т.е.  k

1

=k

2



Прямые перпендикулярны, если угол между ними равен 90



о

, тангенс 90

о

 

неопределен, а это согласно формуле будет, если k



1

k

= -1. 



Признак перпендикулярности

. Прямые s

1

: y=k



1

x+b

1

s



2

y=k

2

x+b

2

 перпен-



дикулярны 

⇔ k

1

k

= -1. 



Пример 9.

 Дана прямая y=2x-5 и точка А(1;2). А) Написать уравнение пря-

мой, проходящей через точку А параллельно исходной прямой. 



α



α



ϕ

 

s

1

 

s



2

 

Рис. 24 



УРАВНЕНИЕ

 

ПРЯМОЙ


 

НА

 

ПЛОСКОСТИ

 

 

25 



Б) Написать уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно 

исходной прямой. 

Решение.

 А) Будем искать уравнение прямой в виде  y=k

1

x+b

1

. Из призна-



ка параллельности прямых следует, что угловой коэффициент исходной прямой 

2  равен  угловому  коэффициенту  искомой  прямой,  т.е.  k

1

=2  и  уравнение  иско-



мой  прямой  принимает  вид  y=2x+b

1

.  Коэффициент  b



1

  найдем  из  условия,  что 

прямая проходит через точку А(1;2): 2=2*1+b

1

b



1

=0. Следовательно, уравнение 

прямой,  проходящей  через  точку  А  параллельно  исходной  прямой,  имеет  вид 

y=2x

Б) Будем искать уравнение прямой в виде  y=k



2

x+b

2

. Из признака перпен-



дикулярности прямых следует, что произведение угловых коэффициентов рав-

но  –1,  т.е.  2k

2

=  -1;  k



2

=  -  0,5  и  уравнение  искомой  прямой  принимает  вид  



y=-

0,5x+b

2

.  Коэффициент  b



2

  найдем  из  условия,  что  прямая  проходит  через 

точку  А(1;2):  2=  -0,5*1+b

2

;  b



2

=2,5.  Следовательно,  уравнение  прямой,  прохо-

дящей  через  точку  А  перпендикулярно  исходной  прямой,  имеет  вид  

y=

-0,5x+2,5 



*

Прямые 

заданы 

каноническими 

уравнениями 

1

1



2

2

1



2

1

1



2

2

:



;

:

.



x

x

y

y

x

x

y

y

s

s

l

m

l

m



=



=

  В  этом 

случае  угол 

ϕ  между  прямыми  равен  углу  между  направ-

ляющими  векторами  s


Download 0.59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling