Учебно-методическое пособие для студентов Москва 2010 Пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, прово

 

34)

 

Найти работу равнодействующей трех сил 

{

}

{

}

{

}

1, 3,6 ,

1, 2,1 ,

1, 4, 2

F

P

R

=

−

=

= −

−

 при перемещении из точки А(-2,-1,3) 

в точку В(-3,1,1).

 

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 

 

15

6. 

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

 

Определение. Векторным произведением векторов 

а

 и 

b

 называется вектор 

с

 (рис.15),

 

удовлетворяющий следующим условиям:  

1)

 

вектор 

с

 перпендикулярен векторам 

а

 и 

b

; 

2)

 

длина вектора 

с

 равна площади параллелограмма, 

построенного на векторах 

a 

и 

b

, т.е. |

c

|=|

a

||

b

|sin

α; 

3)

 

векторы 

a

, 

b

 и 

с 

 образуют правую тройку. 

Определение.  Тройка  векторов 

a

, 

b

  и 

с

  называется  правой,  если  с  конца 

третьего  вектора 

с

  наикратчайший  поворот  от  первого  вектора 

а

  ко  второму 

вектору 

b

 виден против часовой стрелки. 

Обозначение. Векторное произведение обозначается крестиком между век-

торами, т.е.  

с

b

a

=

×

.  

Свойства векторного произведения векторов 

1.

  a

×

b

= – 

b

×

a – 

антикоммутативность.  

2.

  a

×(λ

b

)=

λ(

a

×

b) –

сочетательный закон. 

Доказательство свойств 1 и 2 следует из определения векторного произве-

дения. 

3.

 

(

a

+

b

)

×

c

=

a

×

c

+

b

×

c 

– распределительный закон. 

Векторное

  

произведение

 

в

 

координатной

 

форме

 

записи

 

Задача

 7. 

Даны векторы а

=

{x

а

, y

а

, z

а

}, 

b=

{x

b

, y

b

, z

b

}. Вычислить 

a

×

b.

 

Решение

. 

а=x

а

i

+ y

а

j

+ z

а

k;  b

 = x

b

i

+ y

b

j

+ z

b

k;  

a

×

b=

(x

а

i

+ y

а

j

+ z

а

k

)

×(x

b

i

+ y

b

j

+ z

b

k

)= x

а

x

b

i

×

i

+ x

а

y

b

i

×

j

+ x

а

z

а

i

×

k+

 y

а

x

b

j

×

i

+ y

а

y

b

j

×

j

+ 

+y

а

 z

b 

j

×

k

+z

а 

x

b

k

×

i+

z

а 

y

b

k

×

j+

z

а 

z

b

k

× 

k

= x

а

x

b

i

×

i

+ y

а

y

b

j

×

j

+ z

а 

z

b

k

× 

k

+ 

+(x

а

y

b

-y

а

x

b

) 

i

×

j

-(x

а

z

а

-z

а 

x

b

)

k

×

i+(

y

а

 z

b

- z

а 

y

b

)

k

×

j.

 

Вычисление  векторного  произведения  свелось  к  вычислению  произведе-

ний базисных векторов. Вычислим их. |

i

×

i|=|i||i|

sin(0

ο

)=1∗1∗0=0. Следовательно, 

векторное 

произведение 

одноименных 

базисных 

векторов 

равно 

0. 

 

i

×

j=k

,  т.к.  1) 

k

  перпендикулярен  к 

a 

и 

b

;  2)  |

i

×

j|

=

|i||j|

sin(90

ο

)=1∗1∗1=1=|

k

|;  

3) Векторы 

i

, 

j

, 

k 

образуют правую тройку. Аналогично, 

i

×

k

= 

-j

, 

j

×

k

=

i. 

b 

a 

α 

c 

Рис. 15  

ВЕКТОРНОЕ

 

ПРОИЗВЕДЕНИЕ

 

ВЕКТОРОВ

 

 

16

Следовательно, 

a

×

b

=(x

а 

y

b

-y

а

x

b

)

 k

-(x

а 

z

а

-z

а 

x

b

)

j+(

y

а

 z

b

- z

а 

y

b

)

i. 

Для запоминания 

полученной формулы ее можно свернуть в определитель: 

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b

b

b

b

.

y

z

x

z

x

y

x

y

z

y

z

x

z

x

y

x

y

z

× =

−

+

=

i

j

k

a b

i

j

k

 

Векторное произведение векторов а

=

{x

а

; y

а

; z

а

} и 

b=

{x

b

; y

b

; z

b

} вычисляется 

по формуле  

.

b

b

b

a

a

a

z

y

x

z

y

x

k

j

i

b

a

=

×

 

Применение векторного произведения 

1.

 

Вычисление площадей. Из определения векторного произведения следует, 

что площадь параллелограмма, построенного на 

 векторах a и b, равна 

b

a

×

=

◊

S

,  

а площадь треугольника 

b

a

×

=

∆

2

1

S

 (

рис

.16). 

 

2. 

Вычисление

 

момента

 

силы

. 

Определение

.

 

Моментом

  

силы

  F , 

приложенной

 

в

 

точке

 

А

, 

относительно

 

точки

 

В

 

 

называется

 

вектор

 

B

M  

равный

 

векторному

 

произведению

 

 

плеча

 

ВА

 

на

 

силу

  F , 

т

.

е

. 

F

BA

M

B

×

=

 (

рис

.17). 

Пример 6.

 

Угол

 

между

 

векторами

 

а

 

и

 b 

равен

 30 

градусов

, |

а

|=4, |b|=3. 

Вы

-

числить

 

площадь

 

треугольника

, 

построенного

 

на

 

векторах

 (2a-3b) 

и

 (4a+2b). 

Решение.

 

Площадь

 

треугольника

 

равна

 

половине

 

модуля

 

векторного

 

про

-

изведения

:

  

(

) (

)

.

48

5

,

0

3

4

8

30

sin

8

8

16

2

1

12

4

2

1

6

12

4

8

2

1

2

4

3

2

2

1

0

=

⋅

⋅

⋅

=

=

×

=

×

=

=

×

+

×

=

×

−

×

−

×

+

×

=

+

×

−

=

∆

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

b

a

b

b

a

a

a

b

a

b

a

S

При

 

вычислениях

 

учитывалось

, 

что

 

векторное

 

произведение

 

одноименных

 

век

-

торов

 

равно

 

нулю

 

и

 

свойство

 

антикоммутативности

.  

a 

b 

Рис

. 16 

B 

A 

F 

Рис

. 17 

ВЕКТОРНОЕ

 

ПРОИЗВЕДЕНИЕ

 

ВЕКТОРОВ

 

 

17

Пример  7.

 

Вычислить

 

длину

 

высоты

, 

опущенной

 

из

 

вершины

 

А

   

в

 

тре

-

угольнике

 

АВС

, 

А

(1;2;3), 

В

(-3;4;1), 

С

(3;5;5). 

Решение.

 

Найдем

 

площадь

 

треугольника

 

АВС

: 

}.

2

;

2

;

4

{

},

4

;

1

;

6

{

−

=

=

BA

BC

 

.

16

4

10

2

4

1

6

2

4

4

6

2

2

4

1

2

2

4

4

1

6

k

j

i

k

j

i

k

j

i

BA

BC

−

+

=

−

+

−

−

=

−

=

×

 

.

2

372

16

4

10

2

1

2

1

2

2

2

=

+

+

=

×

=

∆

BA

BC

S

 

Высоту

, 

опущенную

 

из

 

вершины

 

А

, 

найдем

 

из

 

формулы

 

.

53

372

4

1

6

372

2

2

1

2

2

2

=

+

+

=

=

⇒

⋅

=

∆

∆

BC

BC

S

h

h

S

A

A

 

Задачи к разделу «Векторное произведение» 

35) 

Даны

 

векторы

 

{

}

{

}

2, 1,3 ,

3, 0,1

a

b

=

−

= −

. 

Найти

 

векторные

 

произведения

: 

а

)

 

b

a

×

; 

б

) 

a

b

×

; 

в

) 

(

)

2

(3

4 )

b

a

b

a

−

×

+

. 

36) 

Найти

 

площадь

 

параллелограмма

, 

построенного

 

на

 

векторах

 

a

 

и

 

b

, 

если

 

{

}

{

}

1, 1,3 ,

3, 2,1

a

b

= − −

= −

. 

37) 

Найти

 

высоты

 

параллелограмма

, 

построенного

 

на

 

векторах

 

a

 

и

 

b

, 

если

 

{

}

{

}

3, 1,1 ,

1, 2, 0

a

b

=

−

= − −

. 

38) 

Найти

 

координаты

 

вектора

 

b

b

a

c

+

×

= 2

, 

если

 

{

}

{

}

2, 1, 0 ,

1, 0, 2

a

b

= − −

= −

. 

39) 

Найти

 

направляющие

 

косинусы

 

вектора

 

b

a

c

×

=

, 

если

 

{

}

{

}

2, 1, 0 ,

1, 0, 2

a

b

= − −

= −

. 

40) 

Найти

 

угол

 

между

 

векторами

 

c

и

 

d

, 

если

 

b

a

c

+

=

, 

b

a

d

×

=

, 

{

}

{

}

3, 0, 2 ,

2, 1, 0

a

b

= −

=

−

. 

41) 

Вычислить

: 

а

) 

(

) (

)

b

a

b

a

−

×

+

; 

б

)

 

(

) (

)

b

a

b

a

+

×

−

. 

42) 

Найти

 

проекцию

 

вектора

 

a

 

на

 

вектор

 

c

, 

если

 

(

)

b

b

a

c

−

−

×

=

2

, 

{

}

{

}

0, 4, 2 ,

1, 1,3

a

b

=

=

−

. 

43) 

Найти

 

проекцию

 

вектора

 

(

)

b

a

3

2

+

−

 

на

 

вектор

 

(

)

c

b

a

×

−

, 

если

 

(

)

a

b

a

c

+

−

×

=

2

, 

{

}

{

}

1, 4, 2 ,

2, 1,3

a

b

=

=

−

. 

44)   

Вычислить

: 

(

) (

)

k

j

i

k

j

i

4

2

3

2

−

+

×

+

−

. 

45)   

Найти

 

a

c

b

a

×

+

×

, 

если

 

{

}

{

}

{

}

1,1,1 ,

0, 2, 1 ,

1, 0,1

a

b

c

=

=

−

=

. 

ВЕКТОРНОЕ

 

ПРОИЗВЕДЕНИЕ

 

ВЕКТОРОВ

 

 

18

46)   

Определить

 

коллинеарны

 

ли

 

векторы

 

c

и

 

d

, 

если

 

(

)

a

b

a

c

+

−

×

=

2

, 

b

a

d

×

=

)

3

(

. 

47)   

Найти

 

неизвестный

 

вектор

 

x

, 

если

 

b

x

a

=

×

, 

{

}

{

}

1, 0, 2 ,

2, 1,1

a

b

=

=

−

.