Учебно-методическое пособие для студентов Москва 2010 Пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, прово

a

. 

Задача

 3. 

Дан

 

вектор

 

а

={x

а

, y

а

, z

а

}. 

Вычислить

 

координаты

 

вектора

 

λa. 

y 

z 

x 

0 

M

2 

M

1 

M

3 

M

 

i 

k 

j 

M'

 

Рис

. 9 

ВЕКТОР

 

В

 

ДЕКАРТОВОЙ

 

СИСТЕМЕ

 

КООРДИНАТ

 

 

7 

Решение

. 

а

=x

а

i+ y

а

j+ z

а

k; 

λ

а

=

λ(x

а

i+ y

а

j+ z

а

k)= 

λx

а

i+

λ y

а

j+ 

λz

а

k.  

При

 

умножении

 

вектора

 

а

={x

а

, y

а

, z

а

} 

на

 

скаляр

 

каждая

 

координата

 

умножа

-

ется

 

на

 

этот

 

скаляр

:  

λ

а

=

{

λx

а

;

 

λy

а

;

 

λz

а

}. 

Пример 1.

  

Даны

 

векторы

   

а

=

{1;2;-2} 

и

 b={3;1;2}.  

Найти

 2a-3b, |2a-3b|. 

Решение.

   

2a={2;4;-4}, 3b={9;3;6}, 2a-3b={2;4;-4}-{9;3;6} = {-7;1;-10}.  

(

)

.

150

10

1

7

3

2

2

2

2

=

−

+

+

=

− b

а

 

Признак коллинеарности векторов 

Если векторы а={

x

а

; 

y

а

; 

z

а

} и b={

x

b

; 

y

b

; 

z

b

} коллинеарны, то один из них 

может быть получен из второго умножением на скаляр: а=

λb; 

⇒

 

{

x

а

; 

y

а

; 

z

а

}=

λ{

x

b

; 

y

b

; 

z

b

};

⇒

 

x

а

=

λ

x

b

; 

y

а

=

λ

y

b

;  

z

а

=

λ

z

b

; 

⇒

 

.

b

a

b

a

b

a

z

z

y

y

x

x

=

=

 

Признак коллинеарности.

 Векторы

 

а={

x

а

; 

y

а

; 

z

а

} и b={

x

b

; 

y

b

; 

z

b

} коллине-

арны 

⇔  

когда их координаты пропорциональны:

 

.

b

a

b

a

b

a

z

z

y

y

x

x

=

=

 

Пример 2.

 При каких значениях 

α

 и 

β

 векторы a={2;

α

;3} и b={-3;2;

β

} ко-

линеарны. 

Решение.

 Выпишем признак коллинеарности: 

.

2

9

;

3

4

3

2

3

2

−

=

β

−

=

α

⇒

β

=

α

=

−

 

Координаты  точки.  Вычисление  координат  вектора,  если  известны 

координаты концов 

Определение.

  Координатами  точки 

М  называются  координаты  радиус-

вектора ОМ. 

Обозначение

: М(

x, y, z

). 

Задача  4.  Даны  координаты  точек 

 А(

x

а

;

  y

а

;

  z

а

),  В(

x

b

;

  y

b

;

  z

b

).  Вычислить  ко-

ординаты вектора АВ. 

Решение. ОА+АВ=ОВ; АВ=ОВ-ОА= {

x

b

, y

b

, z

b

}-{

x

а

, y

а

, z

а

}= 

={

x

b

-

 x

а

;

 y

b

-

 y

а

;

 z

b

-

 z

а

} (рис. 10). 

y 

z 

x 

0 

A 

B 

Рис. 10 

ВЕКТОР В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 

 

8 

При вычислении координат вектора

 

АВ

 

из координат конца В(

x

b

;

 y

b

;

 z

b

)

 

вычитаются координаты начала А(

x

а

;

 y

а

;

 z

а

):  АВ={

x

b

-

 x

а

;

 y

b

-

 y

а

;

 z

b

-

 z

а

}. 

Деление  отрезка  в  заданном  отношении 

Задача  5.  Даны  координаты  кон-

цов  отрезка  А(

x

а

,  y

а

,  z

а

),  В(

x

b

,  y

b

,  z

b

). 

Точка  М  принадлежит  отрезку  АВ  и 

делит  его  в  отношении 

λ=|AM|/|MB|. 

Найти  координаты  точки  М(

x

; 

y

; 

z

) 

(рис. 11). 

Решение. Векторы АМ и MВ  коллинеарные и, следовательно, вектор 

{

}

a

a

a

;

;

x

x y

y z

z

=

−

−

−

AM

 может быть получен из вектора 

{

}

b

b

b

;

;

x

x y

y z

z

=

−

−

−

MB

 умножением на скаляр |AM|/|MB|=

λ:  

{

}

{

}

(

)

(

)

(

)

a

b

a

a

a

b

b

b

a

b

a

b

,

;

;

;

;

;

,

.

x

x

x

x

x

x y

y z

z

x

x y

y z

z

y

y

y

y

z

z

z

z

−

= λ

−





= λ ⋅

⇔

−

−

−

= λ

−

−

−

⇔

−

= λ

−





−

= λ

−



AM

MB

a

b

a

b

a

b

;

;

.

1

1

1

x

x

y

y

z

z

x

y

z

+ λ

+ λ

+ λ

⇔

=

=

=

+ λ

+ λ

+ λ

 

Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении 

λ=|AM|/|MB|, 

вычисляются по формуле 

.

1

;

1

;

1

b

a

b

a

b

a













λ

+

λ

+

λ

+

λ

+

λ

+

λ

+

z

z

y

y

x

x

M

 

Если  точка  М  является  серединой  отрезка  АВ,  то  |AM|=|MB|; 

λ=|AM|/|MB|=1  и  координаты  середины  отрезка  вычисляются  по  формуле 













+

+

+

2

;

2

;

2

b

a

b

a

b

a

z

z

y

y

x

x

M

,  т.е.  координаты середины равны полусумме  ко-

ординат концов. 

Пример  3.

  Отрезок  AB  разделен  на  три  равные  части.  Найти  координаты 

точек A и B, если координаты точек деления С=(2;4;-1), D=(5;6;0). 

Решение.

 Точка С является серединой отрезка АD (рис. 12). Напишем 

формулы для нахождения середины отрезка:  

y 

z 

x 

0 

A(x

a

;y

a

;z

a

) 

M(x;y;z) 

B(x

b

;y

b

;z

b

) 

Рис. 11 

ВЕКТОР В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 

 

9 









−

=

=

−

=

⇒

















+

=

−

+

=

+

=

⇒

















+

=

+

=

+

=

.

2

;

2

;

1

;

2

0

1

;

2

6

4

;

2

5

2

;

2

;

2

;

2

A

A

A

A

A

A

D

A

C

D

A

C

D

A

C

z

y

x

z

y

x

z

z

z

y

y

y

x

x

x

  A(-1;2;-2). 

Точка D  делит отрезок AB в отношении 2:1. Выпишем формулы для на-

хождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении: 









=

=

=

⇒

















+

−

=

+

=

+

−

=

⇒

















+

+

=

+

+

=

+

+

=

.

1

;

8

;

8

;

3

2

2

0

;

3

2

2

6

;

3

2

1

5

;

2

1

2

;

2

1

2

;

2

1

2

B

B

B

B

B

B

B

A

D

B

A

D

B

A

D

z

y

x

z

y

x

z

z

z

y

y

y

x

x

x

   B(8;8;1). 

Направляющие косинусы  вектора 

Углы, которые вектор a=OM={x; y; z} 

составляет с осями координат обознача-

ются через 

α, β, γ (рис. 13). Косинусы этих 

углов 

γ

β

α

cos

,

cos

,

cos

 называются на-

правляющими косинусами вектора. 

По свойству проекции 

γ

=

β

=

α

=

cos

,

cos

,

cos

a

a

a

z

y

x

. 

Направляющие косинусы вектора а={x; y; z} вычисляются по 

формулам 

a

a

y

x

=

β

=

α

cos

;

cos

; cos

z

γ =

a

. 

Возведем

 

последние

 

равенства

 

в

 

квадрат

 

и

 

сложим

:  

.

1

cos

cos

cos

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

=

+

+

=

γ

+

β

+

α

a

a

a

z

y

x

 

Сумма

 

квадратов

 

направляющих

 

косинусов

 

равна

 

единице

:

 

.

1

cos

cos

cos

2

2

2

=

γ

+

β

+

α

 

y 

z 

x 

0 

α 

β 

γ 

М

(x, y, z) 

z

 

Рис

. 13 

x

 

y 

А

 

В

 

С

 

D 

Рис

. 12 

ВЕКТОР

 

В

 

ДЕКАРТОВОЙ

 

СИСТЕМЕ

 

КООРДИНАТ

 

 

10 

Орт

 

вектора

 

Определение

.

 

Ортом

 

вектора

 

а

 

называется

 

единичный

 

вектор

 

е

, 

направлен

-

ный

 

в

 

ту

 

же

 

сторону

, 

что

 

и

 a. 

Орт

 

е

 

получается

 

из

 

вектора

 

а

={x, y, z} 

делением

 

на

 |a|: 

{

}

.

cos

;

cos

;

cos

;

;

γ

β

α

=













=

=

a

a

a

a

a

e

z

y

x

 

Координатами

 

орта

 

являются

 

направляющие

 

косинусы

: 

{

}

.

cos

;

cos

;

cos

γ

β

α

=

e

 

Задачи к разделам 1-4 

1)

  Даны

 

произвольные

 

векторы

  a

 

и

  b

. 

Построить

 

векторы

  a

+ b

,  a

- b

,  b

- a

, 

 - a

- b

, 2 a

, -0.5 a

. 

2)

  Дано

: | a

|=3, |b

|=4, | a

-b

|=6. 

Найти

 | a

+ b

|. 

3)

  Дано

: | a

|=4, |b

|=5, 

угол

 

между

 

ними

 

π/3. 

Найти

 | a

+ b

| 

и

 | a

- b

|. 

4)

  Дано

:  a

={2;-3;z}, | a

|=17. 

Найти

 z. 

5)

  Дано

:  AB



={2;-4;6}, A(3,-4,5). 

Найти

 

координаты

 

точки

 В. 

6)

  Дано

:  AB



={-4;-7;8}, В(-2,8,1). 

Найти

 

координаты

 

точки

 А. 

7)

  Может

 

ли

 

вектор

 

составлять

 

с

 

координатными

 

осями

 

углы

: 

a)

 α=45

0

, β=60

0

, γ=120

0

;  b) α=45

0

, β=120

0

, γ=135

0

;  c) α=30

0

, β=45

0

, γ=90

0

. 

8)

  Дано

: 

α=45

0

, β=135

0

. 

Найти

 

γ. 

9)

  Вычислить

 

направляющие

 

косинусы

 

вектора

  a

={-3;4,7}. 

10)

  Дан

 

модуль

 

вектора

  | a

|=4 

и

 

углы

 

α=45

0

, β=60

0

, γ=120

0

. 

Вычислить

 

коорди

-

наты

 

вектора

  a

. 

11)

  Дано

: | a

|=4, 

α=30

0

, β=90

0

. 

Вычислить

 

координаты

 

вектора

  a

. 

12)

  Определить

 

координаты

 

точки

 М, 

если

 

ее

 

радиус

-

вектор

 

составляет

 

с

 

осями

 

координат

 

равные

 

углы

 

и

 

его

 

модуль

 

равен

 6. 

13)

  Три

 

силы

  M



, N



, P



 

приложены

 

к

 

одной

 

точке

, 

имеют

 

взаимно

 

перпендику

-

лярные

 

направления

. 

Построить

 

равнодействующую

 

силу

  R



 

и

 

найти

 

ее

 

ве

-

личину

, 

если

 | M



|=3, | N



|=4, | P



|=5. 

ВЕКТОР