Учебно-методическое пособие для студентов специальности 1-36 20 02 «Упаковочное производство»

23. МЕТОД ВРАЩАЮЩИХСЯ КООРДИНАТ
(МЕТОД РОЗЕНБРОКА) 
 
Суть метода состоит во вращении системы координат в соответ-
ствии с изменением скорости убывания целевой функции. Новые 
направления координатных осей определяются таким образом, что-
бы одна из них соответствовала направлению наиболее быстрого 
убывания целевой функции, а остальные находятся из условия ор-
тогональности. Идея метода состоит в следующем (рис. 23.1). 

---

103 
Рис. 23.1. Геометрическая интерпретация метода Розенброка 
Из начальной точки х[0] осуществляют спуск в точку х[1] по 
направлениям, параллельным координатным осям. На следующей 
ите-рации одна из осей должна проходить в направлении y
1
= х[1] – 
х[0], а другая – в направлении, перпендикулярном к у
1
. Спуск вдоль 
этих осей приводит в точку х[2], что дает возможность построить 
новый вектор х[2] – х[1] и на его базе – новую систему направлений 
поиска. В общем случае данный метод эффективен при минимиза-
ции овражных функций, так как результирующее направление по-
иска стремится расположиться вдоль оси оврага. 
Алгоритм метода вращающихся координат состоит в следующем. 
1. Через р
1
[k], ..., р
n
[k] обозначают направления координатных 
осей в некоторой точке х[k] (на k-й итерации). Выполняют пробный 
шаг h
1
вдоль оси р
1
[k], т. е. 
x[kl] = x[k] + h
1
p
1
[k]. 
Если при этом f(x[kl]) < f(x[k]), то шаг h умножают на величину
b > 1. 
Если f(x[kl]) > f(x[k]), – то на величину (–b), 0 < |b| < 1; 
 
x[kl] = x[k] + b h
1
p
1
[k]. 

---

104 
Полагая h
1
= а
1
, получают 
x[kl] = x[k] + a
1
p
1
[k]. 
2. Из точки х[k1] выполняют шаг h
2
вдоль оси р
2
[k]: 
x[k2] = x[k] + a
1
p
1
[k] + h
2
p
2
[k]. 
Повторяют операцию п. 1, т. е. 
x[k2] = x[k] + а
1
р
1
[k] + а
2
p
2
[k]. 
Эту процедуру выполняют для всех остальных координатных 
осей. На последнем шаге получают точку 
х[kn] = х[k + 1] = х[k] + 
 
1
.
n
i i
i
a p k


3. Выбирают новые оси координат p
1
[k + 1], …, р
n
[k + 1]. В каче-
стве первой оси принимается вектор 
р
1
[k + 1] = x[k + l] – x[k]. 
Остальные оси строят ортогональными к первой оси с помощью 
процедуры ортогонализации Грама–Шмидта. Повторяют вычисле-
ния с п. 1 до удовлетворения условий сходимости. 
Коэффициенты b подбираются эмпирически. Хорошие результа-
ты дают значения b = –0,5 при неудачных пробах (f(x[ki]) > f(x[k]))
и b = 3 при удачных пробах (f(x[ki]) < f(x[k])). 
В отличие от других методов нулевого порядка алгоритм Розен-
брока ориентирован на отыскание оптимальной точки в каждом 
направлении, а не просто на фиксированный сдвиг по всем направ-
лениям. Величина шага в процессе поиска непрерывно изменяется в 
зависимости от рельефа поверхности уровня. Сочетание вращения 
координат с регулированием шага делает метод Розенброка эффек-
тивным при решении сложных задач оптимизации. 

---

105