Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

Teorema.
C(X) fazo kiritilgan normaga nisbatan Banax fazosi bo‘ladi.
Isboti.
Aytaylik
{
}
( )
n
f x
fundamental ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Ya’ni,
ixtiyoriy
0
ε
> uchun shunday
N
natural son topiladiki, ixtiyoriy
uchun
,
m n N
≥
ε
<
−
)
(
)
(
x
f
x
f
m
n
tengsizlik hamma
x
nuqtalarda bajariladi. Bitta
х Х
∈ nuqtani
tayinlab,
{
}
( )
n
f x
conli ketma-ketlikni qarasak u fundemental bo‘ladi. Demak,
{
}
( )
n
f x
biror ( )
f x
songa yaqinlashadi.
Yuqoridagi tengsizlikda
t
bo‘yicha limitga o‘tsak,
( )
( )
,
n
f x
f x
ε
−
≤
ya’ni
n
f
f
ε
−
≤

munosabat hosil bo‘ladi. Demak,

{
}
)
(x
f
n
ketma–ketlik ( )
f x
funksiyaga
yaqinlashadi. Endi ( )
f x
ning uzluksizligini isbotlash kifoya.
Ixtiyoriy
0
ε
> uchun shunday
m
con topiladiki,
3
m
f
f
ε
−
<
tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi. Ushbu
m
conni tayinlab olsak,
( )
m
f x
funksiya ixtiyoriy
x
0
nuqtada
uzluksiz bo‘ladi, ya’ni
x
0
nuqtaning shunday
0
x
U
atrofi topiladiki, ixtiyoriy
0
x
х U
∈

nuqtada
0

( )
( )
3
m
m
f x
f x
ε
−
<
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, ixtiyoriy
0
x
х U
∈

nuqta uchun quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:

0
0
0
0
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
3
3
m
m
m
m
m
m
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f
f
f
f
ε
ε ε
3
ε ε
−
≤
−
+
−
+
+
−
≤
−
+ +
−
< + + =

ya’ni, ( )

f x
uzluksiz funksiya.

Ushbu paragraf so‘ngida asosiy normalangan fazolarni jadval shaklida

keltiramiz:
Belgilash
Fazo elementlari
Norma uchun formula
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2
n
R

Haqiqiy sonlarning tartiblangan

chekli ketma-ketligi (kortej)
1
2
( ,
,...,
)
n
x
x x
x
=

2
1

|| ||
n
k
k
x
x
=
=
∑

1
n

R 
Haqiqiy sonlarning tartiblangan
chekli ketma-ketligi (kortej)
1
2
( ,
,...,
)
n
x
x x
x
=

1
n

k
k
x
x
=
=
∑

n
∞

R 
Haqiqiy sonlarning tartiblangan
chekli ketma-ketligi (kortej)
1
2
( ,
,...,
)
n
x
x x
x
=

1
max

k
k n
x
x
≤ ≤
=

2
A

Ushbu
2
1
k
k
x
∞
=
< ∞
∑
sharti
qanoatlantiruvchi
1
2
( ,
,...,
...)
n
x
x x
x
=

cheksiz sonlar ketma-ketligi.

2
1
k
k
x
x
∞
=
=
∑

1
A

Ushbu sharti
1
k
k
x
∞
=
< ∞
∑

qanoatlantiruvchi

1
2
( ,
,...,
,...)
n
a
x x
x
=

cheksiz sonlar ketma-ketligi.

1
k
k
x
x
∞
=
=
∑

m
Chegaralangan ketma-ketliklar

1
sup
k
k
x
x
≤ ≤∞
=

C
2

[a,b] [a,b] da uzluksiz funksiyalar
2
( )
b
a
f
f x dx
=
∫

C
1

[a,b] [a,b] da uzluksiz funksiyalar
( )
b
a
f
f x dx
=
∫

C[a, b] [a,b] da uzluksiz funksiyalar

max
( )
a x b
f
f x
≤ ≤
=

D
n

[a,b]
[a,b] da barcha n-chi tartibli
xosilalarigacha uzluksiz bo‘lgan
funksiyalar.
max
( )
1, 2,...,
k
a x b
f
f x
k
n
≤ ≤
=
=

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3-§. Evklid fazolari 
Endi biz normalangan fazoning xususiy holi bo‘lgan va funksional analizda
keng qo‘llaniladigan Evklid fazosini ko‘rib chiqamiz.
Ta’rif. Haqiqiy E chiziqli fazoning ikki x va y elementlari uchun aniqlangan,
(x,y) ko‘rinishida belgilanuvchi va quyidagi
1.
;
)
,
(
)
,
(
x
y
y
x
=
2.
;
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
x
+
=
+
3.

;
),

,
(
)
,
(
R
y
x
y
x
∈
=
λ
λ
λ
4.
0
0
)
,
(
;
0
)
,
(
=
<=>
=
≥
x
x
x
x
x

to‘rt shartni (aksiomalarini) qanoatlantiruvchi funksiya skalyar ko‘paytma deyiladi:

Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi. Skalyar
ko‘paytma yordami bilan Evklid fazosida norma quyidagicha kiritiladi:
)
,
(
х
х
х
=
.
Bu yerda arifmetik ildiz nazarda tutilgan.
Normaning birinchi sharti skalyar ko‘paytmaning to‘rtinchi aksiomasidan
bevosita kelib chiqadi. Normaning ikkinchi sharti skalyar ko‘paytmaning uchinchi
aksiomasi natijasidir.
Haqiqatan,
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
=
)
,
(
)
,
(
2
х
х
х
х
х
⋅
.
х

Normaning uchinchi shartini isbotlash uchun biz oldin, quyidagi Koshi-

Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz:
x
y
x
≤
)
,
(
y

(1)
Isboti.

Ixtiyoriy
λ son olib quyidagi ifodani tuzamiz:
( )
2
2
2
2
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
2
)
,
(
)
,
(
y
y
x
x
y
y
y
x
x
x
y
x
y
x
+
+
=
+
+
=
+
+
=
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
ϕ
.
Ushbu
0
)
(
2
≥
+
=
у
х
λ
λ
ϕ
munosabatiga ko‘ra
)
(
λ
ϕ
kvadrat uchhadning
diskriminanti
2
2
2
)
,
(
у
х
у
х
⋅
−
musbat emas, ya’ni
.
)
,
(
2
2
2
у
х
у
х
≤

Bu tengsizlikdan kerak bo‘lgan (1) tengsizlik kelib chiqadi. Shunday qilib,

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2
2
2
2
2
2
(1)
2( , )
2
(
) .
х у
х
х у
у
х
х у
у
х
ϕ
+
=
=
+
+
≤
+
+
=
+ у

Ya’ni normaning uchunchi aksiomasi

х у
х
у
+
≤
+
isbotlandi.
Skalyar ko‘paytma yordami bilan, Evklid fazosida ikki element orasidagi
burchak tushunchasini kiritish mumkin:

( , )
cos

, 0
.
x y
x y
φ
φ π
=
≤ ≤
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi ifodaning absolyut qiymati Koshi-
Bunyakovskiy tengsizligiga binoan birdan katta emas, ya’ni har qanday noldan
farqli x va y uchun
φ
aniqlangan.
Agar (x,y)=0 bo‘lsa, u holda
2
π
φ
= bo‘ladi. Bu holda x va y elementlar
ortogonal deb ataladi.
Agar x element A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lsa, u holda x
element A to‘plamiga ortogonal deyiladi va x
⊥A kabi belgilanadi.
A
1
to‘plamining har bir elementi A
2
to‘plamining ixtiyoriy elementiga
ortogonal bo‘lsa, A
1
va A
2
to‘plamlar ortogonal deyiladi va A
1
⊥A
2
bilan
belgilanadi.
Evklid fazosining ayrim xossalarini keltiramiz.
1.
Agar
,
п
п
х
х у
у
→
→
norma ma’nosida yaqinlashsa, u holda
( ,
)
( , )
п
п
х у
х
→
у
bo‘ladi (skalyar ko‘paytmaning uzluksizligi).
Isboti.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan

( , ) ( ,

)
( ,
)
(
,
)
п
п
п
п
п
х у
х у
х у у
х х у
х
−
≤
−
+
−
≤
п
п
у у
х х
−
+ −
п
у

Yaqinlashuvchi

{ }
п
у
ketma-ketlikning normasi chegaralangan bo‘lgani
uchun oxirgi ifoda nolga intiladi.
2. Evklid fazosining ixtiyoriy x, y elementlari uchun

(
)

2
2
2
2
2
х у
х у
х
у
+
+
−
=
+

tenglik o‘rinli (parallelogramm formulasi).

Haqiqatan,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(
)
2
2
2
2
(
,
)
(
,
)
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
2
х у
х у
х у х у
х у х у
х х
х у
у х
у у
х х
х у
у х
у у
х
у
+
+ −
=
+
+
+
−
−
=
+
+
+
+
−
−
+
=
+
+

3. a)
1

х
у
⊥
va
2
х
у
⊥
munosabatlaridan
1
(
2
)
х
у
у
λ
µ
⊥
+
munosabat kelib
chiqadi ( ,
λ µ
-haqiqiy sonlar).
b)
n
х
у
⊥
(n
=1,2,...) bo‘lib, {y
n
} ketma-ketlik y elementga yaqinlashsa, u
holda x
⊥y bo‘ladi.
Darhaqiqat,
n
х
у
⊥
bo‘lgani uchun ( ,
)
0,
n
n
х у
y
y
=
→ dan 1-xossaga asosan
( ,
)
( , )
n
х у
x y
→
. Demak, ( , )
0
х у
= , ya’ni х у
⊥ bo‘ladi.
c) х
А
⊥ bo‘lsa, u holda
[ ]
х
L A
⊥
bo‘ladi.
d) A to‘plamning har bir elementiga ortogonal bo‘lgan barcha elementlar
to‘plamini A
⊥
bilan belgilaymiz.
a) xossasiga asosan A
⊥
to‘plam E ning vektor qism fazosi bo‘ladi. b) ga
asosan A
⊥
yopiq. Demak, A
⊥
to‘plam normalangan E fazosining qism fazosi ekan.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---